《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 2] 判断下列各题中集合 $ A $ 是否是集合 $ B $ 的子集,并说明理由。
(1) $ A = \{ 1, 2, 3 \} $,$ B = \{ x | x $ 是 $ 8 $ 的约数 $ \} $；
(2) $ A = \{ x | x $ 是矩形 $ \} $,$ B = \{ x | x $ 是两条对角线相等的平行四边形 $ \} $；
(3) $ A = \{ x | x = 2n - 1, n \in \mathbf{N}^* \} $,$ B = \{ x | x = 2n + 1, n \in \mathbf{N}^* \} $；
(4) $ A = \{ x | - 1 ＜ x ＜ 4 \} $,$ B = \{ x | x - 5 ＜ 0 \} $。

答案：
思维启迪：判断集合 $ A $ 中的元素是否都是集合 $ B $ 中的元素,从而可判断出集合 $ A $ 与集合 $ B $ 的关系。
解：
(1) 因为 $ 3 $ 不是 $ 8 $ 的约数,所以集合 $ A $ 不是集合 $ B $ 的子集。
(2) 因为若 $ x $ 是矩形,则 $ x $ 一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合 $ A $ 是集合 $ B $ 的子集。
(3) 两个集合都表示一些正奇数组成的集合,但由于 $ n \in \mathbf{N}^* $,因此,集合 $ A $ 含有元素“$ 1 $”,而集合 $ B $ 不含元素“$ 1 $”,故集合 $ A $ 不是集合 $ B $ 的子集。
(4) 因为 $ A = \{ x | - 1 ＜ x ＜ 4 \} $,$ B = \{ x | x - 5 ＜ 0 \} = \{ x | x ＜ 5 \} $,用数轴表示集合 $ A $,$ B $ 如图所示。

由图可知,集合 $ A $ 是集合 $ B $ 的真子集。
[反思归纳] 判断集合间关系的方法
(1) 定义法：首先,判断集合 $ A $ 中的任意一个元素是否属于集合 $ B $,若是,则 $ A \subseteq B $,否则,$ A $ 不是 $ B $ 的子集；其次判断集合 $ B $ 中的任意一个元素是否属于集合 $ A $,若是,则 $ B \subseteq A $,否则,$ B $ 不是 $ A $ 的子集；若既有 $ A \subseteq B $,又有 $ B \subseteq A $,则 $ A = B $。
(2) 数形结合法：对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍。

[例 3] (1) 已知集合 $ A = \{ x | ax \leq 1 \} $,$ B = \{ 2, \sqrt{2} \} $,若 $ B \subseteq A $,求实数 $ a $ 的取值范围；
(2) 已知集合 $ A = \{ x | x ＜ - 1 $ 或 $ x ＞ 3 \} $,$ B = \{ x | 4x + m ＜ 0 \} $,若 $ B \subseteq A $,求实数 $ m $ 的取值范围；
(3) 已知集合 $ A = \{ a, \frac{b}{a}, 1 \} $,$ B = \{ a^2, a + b, 0 \} $,若 $ A = B $,求实数 $ a $,$ b $ 的值。

答案：
思维启迪：
(1) 对 $ a $ 是否为 $ 0 $ 进行分类讨论；
(2) 结合数轴进行求解；
(3) 根据集合相等列出关于 $ a $,$ b $ 的方程组。
解：
(1) 当 $ a = 0 $ 时,$ A = \mathbf{R} $,则 $ B \subseteq A $,满足题意；
当 $ a \neq 0 $ 时,因为 $ B \subseteq A $,所以 $ 2 \in A $,$ \sqrt{2} \in A $,所以 $ \begin{cases} 2a \leq 1 \\ \sqrt{2}a \leq 1 \end{cases} $,解得 $ a \leq \frac{1}{2} $。
综上,实数 $ a $ 的取值范围是 $ \{ a | a \leq \frac{1}{2} \} $。
(2) 集合 $ A = \{ x | x ＜ - 1 $ 或 $ x ＞ 3 \} $,$ B = \{ x | 4x + m ＜ 0 \} = \{ x | x ＜ - \frac{m}{4} \} $,在数轴上表示出集合 $ A $ 与 $ B $,如图所示。

由图可得 $ - \frac{m}{4} \leq - 1 $,解得 $ m \geq 4 $。
所以,实数 $ m $ 的取值范围是 $ \{ m | m \geq 4 \} $。
(3) 因为 $ A = B $,集合 $ B $ 中有元素 $ 0 $,又集合 $ A $ 中的 $ a $ 不能为 $ 0 $,
所以必然是 $ \frac{b}{a} = 0 $,即 $ b = 0 $,
此时集合 $ A = \{ a, 0, 1 \} $,$ B = \{ a^2, a, 0 \} $。
因为集合 $ A $ 中有元素 $ 1 $,
所以 $ a^2 = 1 $,且 $ a \neq 1 $,解得 $ a = - 1 $。
综上,$ a = - 1 $,$ b = 0 $。
[反思归纳] 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1) 注意点：① 不能忽视集合为 $ \varnothing $ 的情形；② 当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论。
(2) 常用方法：对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相应参数的范围(值)时,常采用数形结合的方法,借助数轴解答。