《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 某厂日生产文具盒的总成本 $ y $ (单位:元)与日产量 $ x $ (单位:套)之间的关系式为 $ y = 6x + 30000 $, 而出厂价格为每套12元,要使得该厂不亏本,求至少日生产文具盒多少套?
思维启迪 要使得该厂不亏本,日生产文具盒的利润 $ = $ 日生产文具盒的售价 $ - $ 日生产文具盒的成本 $ \geq 0 $.
解:设日生产文具盒的利润为 $ f(x) $, 则由题意得 $ f(x) = 12x - (6x + 30000) $. 因为要使得该厂不亏本,则应有 $ f(x) \geq 0 $, 即 $ 12x - (6x + 30000) \geq 0 $, 解得 $ x \geq 5000 $,所以,要使得该厂不亏本,至少日生产文具盒5000套.
[反思归纳] (1)一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般情况下可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理;(2)对于一次函数在实际问题中的应用题目,要认真审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借用图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域.

答案： 【解析】：本题考查一次函数在实际问题中的应用，具体为利用利润关系解决不亏本的产量问题。关键是根据“利润=售价-成本”列出利润的函数关系式，再通过利润非负求出至少的日产量。
【答案】：解：设日生产文具盒的利润为$ f(x) $元，
由题意得，售价为每套12元，成本为$ y = 6x + 30000 $元，
则利润$ f(x)=12x-(6x + 30000) $，
要使得该厂不亏本，需$ f(x)\geq0 $，
即$ 12x-(6x + 30000)\geq0 $，
化简得$ 6x - 30000\geq0 $，
$ 6x\geq30000 $，
解得$ x\geq5000 $，
答：要使得该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套。

[例2] 用一根长为12米的绳子围成一个矩形,设矩形的一边长为 $ x $ 米.
(1)所围成矩形的面积 $ S $ 能否大于8平方米?若能,请求出 $ x $ 的取值范围;若不能,请说明理由.
(2)求所围成矩形的面积 $ S $ 的最大值.
思维启迪 (1)由矩形的面积公式表示出矩形的面积,再由矩形的面积 $ S $ 大于8平方米,建立不等式解出 $ x $ 的取值范围;(2)通过配方法求出矩形的面积 $ S $ 的最大值即可.
解:(1)设矩形的一边长为 $ x $ 米,则矩形的另一边长为 $ (6 - x) $ 米,所以矩形的面积 $ S = x(6 - x) = -x^{2} + 6x $, $ 0 ＜ x ＜ 6 $. 假设所围成矩形的面积 $ S $ 大于8平方米,则 $ -x^{2} + 6x ＞ 8 $, 解得 $ 2 ＜ x ＜ 4 $, 因此所围成矩形的面积能大于8平方米, $ x $ 的取值范围是 $ (2, 4) $.
(2)由(1)可知 $ S = x(6 - x) = -x^{2} + 6x = -(x - 3)^{2} + 9 $, $ 0 ＜ x ＜ 6 $, 所以当 $ x = 3 $ 时, $ S $ 取得最大值,为9,所以当矩形的一边长为3米时,所围成矩形的面积 $ S $ 取得最大值,为9平方米.
[反思归纳] 在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题确定函数解析式后,可利用配方法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大值、最小值等问题.

答案： 【解析】：本题考查九年级数学中二次函数在实际问题中的应用，具体涉及矩形面积的最值及取值范围问题。
（1）先根据矩形周长公式得出另一边长，再根据面积公式列出二次函数表达式，然后通过解不等式求出面积大于8平方米时x的取值范围。
（2）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而求出面积的最大值。
【答案】：
（1）解：设矩形的一边长为 $ x $ 米，因为绳子长12米，所以矩形的另一边长为 $ (6 - x) $ 米，且 $ 0 ＜ x ＜ 6 $。
矩形的面积 $ S = x(6 - x) = -x^2 + 6x $。
若 $ S ＞ 8 $，则 $ -x^2 + 6x ＞ 8 $，
即 $ x^2 - 6x + 8 ＜ 0 $，
因式分解得 $ (x - 2)(x - 4) ＜ 0 $，
解得 $ 2 ＜ x ＜ 4 $。
所以所围成矩形的面积能大于8平方米，$ x $ 的取值范围是 $ (2, 4) $。
（2）解：由（1）知 $ S = -x^2 + 6x $，
配方得 $ S = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9 $。
因为 $ 0 ＜ x ＜ 6 $，所以当 $ x = 3 $ 时，$ S $ 取得最大值，最大值为9。
所以所围成矩形的面积 $ S $ 的最大值为9平方米。

[例3] 某市为鼓励居民节约用电,采用阶梯电价的收费方式,当月用电量不超过100千瓦时的部分,按0.4元/千瓦时收费;超过100千瓦时的部分,按0.8元/千瓦时收费.
(1)若某户居民用电量为120千瓦时,则该月电费为多少元?
(2)若某户居民某月电费为60元,则其该月用电量为多少千瓦时?
思维启迪 (1)设用电量为 $ x $ 千瓦时,对应电费为 $ y $ 元,求出 $ y $ 关于 $ x $ 的分段函数,将 $ x = 120 $ 代入,求出该月电费;(2)先判断出该户用电量超过了100千瓦时,进而解方程,求出其用电量.
解:(1)设用电量为 $ x $ 千瓦时,对应电费为 $ y $ 元. 由题意,得当 $ x \leq 100 $ 时, $ y = 0.4x $;当 $ x ＞ 100 $ 时, $ y = 100 × 0.4 + (x - 100) × 0.8 = 0.8x - 40 $,所以
$ y = \begin{cases} 0.4x, x \leq 100, \\ 0.8x - 40, x ＞ 100. \end{cases} $
当 $ x = 120 $ 时, $ y = 0.8 × 120 - 40 = 56 $, 所以该月电费为56元.
(2)因为当 $ x \leq 100 $ 时, $ y = 0.4x \leq 0.4 × 100 = 40 ＜ 60 $, 所以该户用电量超过了100千瓦时,令 $ 0.8x - 40 = 60 $, 解得 $ x = 125 $, 所以其用电量为125千瓦时.
[反思归纳] 分段函数模型应用的求解策略:(1)根据实际问题,结合其他函数模型,建立分段函数关系式;(2)明确分段函数的定义域,从而求出值域或对应函数值.

答案： 【解析】：本题考查分段函数在实际问题中的应用。
对于（1），根据阶梯电价收费方式，分用电量不超过100千瓦时和超过100千瓦时两种情况建立分段函数，再将给定用电量代入相应函数式计算电费；
对于（2），先判断电费对应的用电量是否超过100千瓦时，再代入相应分段函数求解。
（1）设用电量为$x$千瓦时，对应电费为$y$元。
当$x \leq 100$时，$y = 0.4x$；
当$x ＞ 100$时，$y = 100×0.4+(x - 100)×0.8 = 0.8x - 40$，
所以$y=\begin{cases}0.4x, x\leq100\\0.8x - 40, x ＞ 100\end{cases}$。
当$x = 120$时，$y = 0.8×120 - 40 = 56$。
（2）因为当$x \leq 100$时，$y = 0.4x \leq 0.4×100 = 40 ＜ 60$，
所以该户用电量超过了100千瓦时，
令$0.8x - 40 = 60$，
解得$x = 125$。
【答案】：（1）56元；（2）125千瓦时