《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 3] 若函数 $ f(x) $ 是定义在区间 $ (-1, 1) $ 上的增函数,且 $ f(1 - a) ＜ f(2a - 1) $,求实数 $ a $ 的取值范围。
思维启迪 根据定义域和单调性脱去对应法则“$ f $”,列出不等式组求解。
解：因为 $ f(x) $ 的定义域为 $ (-1, 1) $,
所以 $ \begin{cases} -1 ＜ 1 - a ＜ 1 \\ -1 ＜ 2a - 1 ＜ 1 \end{cases} $ 解得 $ 0 ＜ a ＜ 1 $。①
因为 $ f(x) $ 在区间 $ (-1, 1) $ 上是增函数,且 $ f(1 - a) ＜ f(2a - 1) $,
所以 $ 1 - a ＜ 2a - 1 $,即 $ a ＞ \frac{2}{3} $。②
由①②可知,$ \frac{2}{3} ＜ a ＜ 1 $,
所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ (\frac{2}{3}, 1) $。
[反思归纳] 利用函数的单调性求解不等式问题,关键是利用函数的单调性,脱去对应法则“$ f $”,得到关于自变量的不等式即可获解。但要注意题目所给函数定义域的制约。

答案： 【解析】：本题考查函数单调性的应用。因为函数$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的增函数，且$f(1 - a)＜f(2a - 1)$，根据增函数的性质，自变量越大函数值越大，所以首先要保证$1 - a$和$2a - 1$都在定义域$(-1,1)$内，然后再根据单调性得到$1 - a＜2a - 1$，最后联立求解不等式组得到$a$的取值范围。
【答案】：解：因为$f(x)$的定义域为$(-1,1)$，
所以$\begin{cases}-1＜1 - a＜1 \\ -1＜2a - 1＜1\end{cases}$
解第一个不等式：$-1＜1 - a＜1$
$-1 - 1＜ - a＜1 - 1$
$-2＜ - a＜0$
$0＜a＜2$
解第二个不等式：$-1＜2a - 1＜1$
$-1 + 1＜2a＜1 + 1$
$0＜2a＜2$
$0＜a＜1$
综合可得$0＜a＜1$。①
因为$f(x)$在区间$(-1,1)$上是增函数，且$f(1 - a)＜f(2a - 1)$，
所以$1 - a＜2a - 1$
$1 + 1＜2a + a$
$2＜3a$
$a＞\frac{2}{3}$。②
由①②可知，$\frac{2}{3}＜a＜1$，
所以实数$a$的取值范围是$(\frac{2}{3},1)$。

[例 4] 已知函数 $ f(x) = \frac{2}{x - 1} (x \in [2, 6]) $,求函数 $ f(x) $ 的最大值和最小值。
思维启迪 由函数单调性的定义证得函数 $ f(x) = \frac{2}{x - 1} $ 在区间 $ [2, 6] $ 上单调递减,所以函数 $ f(x) = \frac{2}{x - 1} $ 在区间 $ [2, 6] $ 的两个端点上分别取得最大值和最小值。
解：$ \forall x_1, x_2 \in [2, 6] $,且 $ x_1 ＜ x_2 $,则
$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{2}{x_1 - 1} - \frac{2}{x_2 - 1} = \frac{2[(x_2 - 1) - (x_1 - 1)]}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} = \frac{2(x_2 - x_1)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} $。
由 $ 2 \leq x_1 ＜ x_2 \leq 6 $,得 $ x_2 - x_1 ＞ 0 $,$ (x_1 - 1)(x_2 - 1) ＞ 0 $,于是 $ f(x_1) - f(x_2) ＞ 0 $,即 $ f(x_1) ＞ f(x_2) $,所以函数 $ f(x) = \frac{2}{x - 1} $ 在区间 $ [2, 6] $ 上单调递减。
因此,函数 $ f(x) = \frac{2}{x - 1} $ 在区间 $ [2, 6] $ 的两个端点上分别取得最大值与最小值。当 $ x = 2 $ 时取得最大值,最大值是 $ 2 $；当 $ x = 6 $ 时取得最小值,最小值是 $ \frac{2}{5} $。
[反思归纳] (1) 若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上单调递增,则 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上的最小值为 $ f(a) $,最大值为 $ f(b) $；(2) 若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上单调递减,则 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上的最小值为 $ f(b) $,最大值为 $ f(a) $。

答案： 【解析】：本题考查函数单调性的定义及利用单调性求函数在闭区间上的最值。首先通过函数单调性的定义证明函数$f(x)=\frac{2}{x - 1}$在区间$[2, 6]$上单调递减，再根据单调递减函数在闭区间上的最值在端点处取得，进而求出最大值和最小值。
【答案】：解：$\forall x_1, x_2 \in [2, 6]$，且$x_1 ＜ x_2$，则
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{2}{x_1 - 1} - \frac{2}{x_2 - 1} = \frac{2[(x_2 - 1) - (x_1 - 1)]}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} = \frac{2(x_2 - x_1)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}$。
由$2 \leq x_1 ＜ x_2 \leq 6$，得$x_2 - x_1 ＞ 0$，$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ＞ 0$，于是$f(x_1) - f(x_2) ＞ 0$，即$f(x_1) ＞ f(x_2)$，所以函数$f(x) = \frac{2}{x - 1}$在区间$[2, 6]$上单调递减。
因此，函数$f(x) = \frac{2}{x - 1}$在区间$[2, 6]$的两个端点上分别取得最大值与最小值。当$x = 2$时取得最大值，最大值是$2$；当$x = 6$时取得最小值，最小值是$\frac{2}{5}$。