《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

4. (对应题型四)给定函数$f(x)= -x+1,g(x)= (x-1)^{2}$.
(1)在同一平面直角坐标系中作出函数$f(x),g(x)$的图象;
(2)$\forall x∈R$,用$m(x)表示f(x),g(x)$中的较小者,记为$m(x)= min\{ f(x),g(x)\}$,请分别用图象法和解析法表示函数$m(x)$.

答案： 【解析】：（1）对于函数$f(x)=-x+1$，这是一次函数，斜率为$-1$，截距为$1$，经过点$(0,1)$和$(1,0)$。对于函数$g(x)=(x - 1)^2$，这是二次函数，开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，可再取点$(0,1)$，$(2,1)$等来绘制图象。
（2）要确定$m(x)=\min\{f(x),g(x)\}$，需要先求出$f(x)$与$g(x)$的交点，联立方程$-x + 1=(x - 1)^2$，即$(x - 1)^2 + x - 1=0$，$(x - 1)(x - 1 + 1)=0$，$x(x - 1)=0$，解得$x=0$或$x=1$。交点坐标为$(0,1)$和$(1,0)$。通过观察图象，在不同区间判断$f(x)$和$g(x)$的大小，从而确定$m(x)$的解析式。当$x ＜ 0$或$x ＞ 1$时，$g(x) ＞ f(x)$，所以$m(x)=f(x)$；当$0\leqslant x\leqslant1$时，$g(x)\leqslant f(x)$，所以$m(x)=g(x)$。
【答案】：（1）图略
（2）解析法表示为：$m(x)=\begin{cases}-x + 1, & x ＜ 0 或 x ＞ 1 \\(x - 1)^2, & 0\leqslant x\leqslant1\end{cases}$
图象法表示为：图略