《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 比较$(x + 2)(x + 3)和(x + 1)(x + 4)$的大小。

答案： 思维启迪 通过比较这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系。
解：因为$(x + 2)(x + 3) - (x + 1)(x + 4) = (x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 5x + 4) = 2 ＞ 0$,
所以$(x + 2)(x + 3) ＞ (x + 1)(x + 4)$。
[反思归纳] 作差法比较大小的解题步骤
(1)作差；
(2)变形；
(3)定号；
(4)下结论。

[例2] 已知$a ＞ b ＞ 0$,$c ＜ 0$,求证：$\frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b}$。

答案： 思维启迪 因为$c ＜ 0$,要证明$\frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b}$,可以先证明$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$。利用已知$a ＞ b ＞ 0$和性质4即可证明$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$。
证明：因为$a ＞ b ＞ 0$,所以$ab ＞ 0$,$\frac{1}{ab} ＞ 0$。
于是$a \cdot \frac{1}{ab} ＞ b \cdot \frac{1}{ab}$,即$\frac{1}{b} ＞ \frac{1}{a}$。
由$c ＜ 0$,得$\frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b}$。
[反思归纳] 利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质,并注意在解题中灵活、准确地加以应用；
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则。