《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3]下列函数中哪个与函数y = x是同一个函数？
$(1)u = ∛(v^3)；$$(2)y = √(x^2)；$$(3)m = n^2 / n。$

答案： 思维启迪 判断函数的定义域和对应关系是否都相同,若都相同,则是同一个函数；否则不是同一个函数。
解：$(1)u = ∛(v^3) = v(v ∈ R),$它与函数y = x(x ∈ R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y = x(x ∈ R)是同一个函数。
$(2)y = √(x^2) = $|x| = { -x,x ＜ 0；x,x ≥ 0 },它与函数y = x(x ∈ R)的定义域都是R,但是当x ＜ 0时,它的对应关系与函数y = x(x ∈ R)不相同,所以这个函数与函数y = x(x ∈ R)不是同一个函数。
$(3)m = n^2 / n = n(n ∈ {n|n ≠ 0}),$它与函数y = x(x ∈ R)的对应关系相同但定义域不相同,所以这个函数与函数y = x(x ∈ R)不是同一个函数。
[反思归纳]函数的三要素：定义域、对应关系、值域。其中,定义域和对应关系决定了值域,因此,只要两个函数的定义域和对应关系相同,值域也一定相同。所以判断两个函数是否为同一个函数,只需要判断它们的定义域和对应关系是否都相同即可。

[例4]已知函数f(x) = √(x + 3) + 1/(x + 2)。
(1)求f(-3)=-1,f(2/3)=3/8 + √33/3的值；
(2)当a ＞ 0时,求f(a)=√(a + 3) + 1/(a + 2),f(a - 1)=√(a + 2) + 1/(a + 1)的值。

答案： 思维启迪
(1)分别用-3,2/3替换f(x)中的x,计算即可；
(2)分别用a,a - 1替换f(x)中的x,计算并化简即可。
解：
(1)将-3与2/3分别代入解析式,有
f(-3) = √(-3 + 3) + 1/(-3 + 2) = -1；
f(2/3) = √(2/3 + 3) + 1/(2/3 + 2) = √(11/3) + 3/8 = 3/8 + √33/3。
(2)因为a ＞ 0,所以f(a),f(a - 1)有意义。分别用a,a - 1替换f(x)中的x,得
f(a) = √(a + 3) + 1/(a + 2)；f(a - 1) = √(a - 1 + 3) + 1/(a - 1 + 2) = √(a + 2) + 1/(a + 1)。
[反思归纳]已知函数的解析式,求函数值常用代入法,即把解析式中的自变量x用指定的数(或式子)替代,并整理化简即可。