《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. (对应题型一) 化简代数式：$ |x + 1| + 2|x - 2| $。

答案： 【解析】：本题考查绝对值的化简，需要根据绝对值内代数式的零点将数轴分段讨论。绝对值的零点为$x + 1 = 0$即$x=-1$和$x - 2 = 0$即$x = 2$，这两个零点将数轴分为$x\lt -1$、$-1\leqslant x\lt 2$、$x\geqslant 2$三段，分别在每一段内去掉绝对值符号进行化简。
【答案】：当$x\lt -1$时，$x + 1\lt 0$，$x - 2\lt 0$，
原式$=-(x + 1)+2[-(x - 2)]$
$=-x - 1 - 2x + 4$
$=-3x + 3$；
当$-1\leqslant x\lt 2$时，$x + 1\geqslant 0$，$x - 2\lt 0$，
原式$=(x + 1)+2[-(x - 2)]$
$=x + 1 - 2x + 4$
$=-x + 5$；
当$x\geqslant 2$时，$x + 1\gt 0$，$x - 2\geqslant 0$，
原式$=(x + 1)+2(x - 2)$
$=x + 1 + 2x - 4$
$=3x - 3$。
综上，化简结果为：
$|x + 1| + 2|x - 2| = \begin{cases} -3x + 3 & (x\lt -1) \\-x + 5 & (-1\leqslant x\lt 2) \\3x - 3 & (x\geqslant 2)\end{cases}$

2. (对应题型二) 解方程：
(1) $ 3|2x - 1| - 1 = 5 $；
(2) $ |x - 1| - |x + 3| = 0 $。

答案： 【解析】：
(1) 对于方程$3|2x - 1| - 1 = 5$，先通过移项和化简求出$|2x - 1|$的值，再根据绝对值的性质得到两个一元一次方程求解。
(2) 对于方程$|x - 1| - |x + 3| = 0$，先移项得到$|x - 1| = |x + 3|$，再根据绝对值的几何意义或平方的方法求解。
【答案】：
(1) 解：$3|2x - 1| - 1 = 5$
$3|2x - 1| = 5 + 1$
$3|2x - 1| = 6$
$|2x - 1| = 2$
$2x - 1 = 2$或$2x - 1 = -2$
$2x = 3$或$2x = -1$
$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{2}$
(2) 解：$|x - 1| - |x + 3| = 0$
$|x - 1| = |x + 3|$
$(x - 1)^2 = (x + 3)^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 + 6x + 9$
$-2x - 6x = 9 - 1$
$-8x = 8$
$x = -1$

3. (对应题型三) 解不等式：
(1) $ |x - 3| ＜ 5 $
(2) $ |2x - 5| ＞ 2 $。

答案： 【解析】：本题考查绝对值不等式的解法。对于绝对值不等式，需根据绝对值的性质去掉绝对值符号，转化为一般不等式求解。
（1）对于$|x - 3| ＜ 5$，根据绝对值的性质，绝对值小于一个正数的数，其值在这个正数的相反数与正数之间，所以可转化为$-5 ＜ x - 3 ＜ 5$，然后解这个不等式组即可求出$x$的取值范围。
（2）对于$|2x - 5| ＞ 2$，根据绝对值的性质，绝对值大于一个正数的数，其值小于这个正数的相反数或大于这个正数，所以可转化为$2x - 5 ＜ -2$或$2x - 5 ＞ 2$，然后分别解这两个不等式，最后将解集合并即可。
【答案】：
（1）解：$|x - 3| ＜ 5$
$-5 ＜ x - 3 ＜ 5$
$-5 + 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
$-2 ＜ x ＜ 8$
（2）解：$|2x - 5| ＞ 2$
$2x - 5 ＜ -2$或$2x - 5 ＞ 2$
当$2x - 5 ＜ -2$时，$2x ＜ 3$，$x ＜ \frac{3}{2}$
当$2x - 5 ＞ 2$时，$2x ＞ 7$，$x ＞ \frac{7}{2}$
所以$x ＜ \frac{3}{2}$或$x ＞ \frac{7}{2}$

4. (对应题型四) 解不等式：$ |x - 1| + |x - 3| ＞ 4 $。

答案： 【解析】：本题考查解含绝对值的不等式，知识点为绝对值的几何意义或零点分段法。对于|x - 1| + |x - 3|＞4，可通过分析绝对值内式子的零点，即x=1和x=3，将数轴分为三段来讨论去掉绝对值符号求解。
【答案】：解：当x＜1时，
原不等式可化为-(x - 1) - (x - 3)＞4，
即 -x + 1 - x + 3＞4，
-2x + 4＞4，
-2x＞0，
解得x＜0；
当1≤x≤3时，
原不等式可化为(x - 1) - (x - 3)＞4，
即x - 1 - x + 3＞4，
2＞4，此不等式不成立；
当x＞3时，
原不等式可化为(x - 1) + (x - 3)＞4，
即x - 1 + x - 3＞4，
2x - 4＞4，
2x＞8，
解得x＞4；
综上，不等式的解集为x＜0或x＞4。