《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3]已知$a+b+c= 0$,$a^{2}+b^{2}+c^{2}= 1$,求：
(1)$ab+bc+ca$的值；$-\frac{1}{2}$
(2)$a^{4}+b^{4}+c^{4}$的值。$\frac{1}{2}$

答案： 【解析】：本题考查乘法公式的应用，主要涉及三数和的平方公式。
（1）已知$a + b + c = 0$，将其两边平方，利用$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$，结合$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，可求出$ab + bc + ca$的值。
（2）先将$a^2 + b^2 + c^2 = 1$两边平方，得到$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) = 1$，再通过$(ab + bc + ca)^2$求出$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$的值，进而求得$a^4 + b^4 + c^4$。
【答案】：
（1）解：因为$a + b + c = 0$，
所以$(a + b + c)^2 = 0^2$，
即$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$，
又因为$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，
所以$1 + 2(ab + bc + ca) = 0$，
$2(ab + bc + ca) = -1$，
所以$ab + bc + ca = -\frac{1}{2}$。
（2）解：因为$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，
所以$(a^2 + b^2 + c^2)^2 = 1^2$，
即$a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) = 1$，
因为$(ab + bc + ca)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a + b + c)$，
且$a + b + c = 0$，$ab + bc + ca = -\frac{1}{2}$，
所以$(-\frac{1}{2})^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc×0$，
即$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = \frac{1}{4}$，
所以$a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2×\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。

[例4](1)计算：$(4+m)(16-4m+m^{2})$；
(2)已知$x^{2}-3x+1= 0$,求$x^{3}+\frac {1}{x^{3}}$的值。

答案： 【解析】：
(1)观察到原式符合立方和公式$(a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3$的结构，其中$a = 4$，$b = m$，直接利用公式计算。
(2)已知方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，先判断$x\neq0$，方程两边同除以$x$得到$x+\frac{1}{x}=3$，再利用立方和公式$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2 - 1+\frac{1}{x^2})$，将$x^2+\frac{1}{x^2}$转化为$(x+\frac{1}{x})^2-2$，进而整体代入求值。
【答案】：
(1)解：原式$=(4 + m)(4^2-4× m+m^2)$
$=4^3 + m^3$
$=64 + m^3$
(2)解：$\because x^2-3x + 1 = 0$
$\therefore x\neq0$
方程两边同时除以$x$得：$x-3+\frac{1}{x}=0$
$\therefore x+\frac{1}{x}=3$
$\therefore x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2 - 1+\frac{1}{x^2})$
$=(x+\frac{1}{x})[(x+\frac{1}{x})^2-3]$
$=3×(3^2 - 3)$
$=3×(9 - 3)$
$=3×6$
$=18$

[例5]已知$n＞0$,$M= (n+\frac {1}{n})^{3}$,$N= n^{3}+\frac {1}{n^{3}}+6$,试比较 M 与 N 的大小关系。

答案： 解：因为$M - N = \left(n + \frac{1}{n}\right)^3 - \left(n^3 + \frac{1}{n^3} + 6\right)$
$= \left(n^3 + \frac{1}{n^3} + 3n + \frac{3}{n}\right) - \left(n^3 + \frac{1}{n^3} + 6\right)$
$= 3n + \frac{3}{n} - 6$
$= 3\left(n + \frac{1}{n}\right) - 6$
$= 3\left(n + \frac{1}{n} - 2\right)$
$= 3\left(\sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2$
又因为$n ＞ 0$，$\left(\sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2 \geq 0$，所以$3\left(\sqrt{n} - \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2 \geq 0$，即$M - N \geq 0$。
所以$M \geq N$。