《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例2] 已知$a＞0$,用分数指数幂表示下列各式：
(1) $\sqrt{a^{6}}\cdot\sqrt{a^{5}}$$\sqrt{a^{6}} \cdot \sqrt{a^{5}} = a^{\frac{6}{2}} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{3} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{3 + \frac{5}{2}} = a^{\frac{11}{2}}$；(2) $\frac{a^{3}}{\sqrt{a}}$$\frac{a^{3}}{\sqrt{a}} = a^{3} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^{3 - \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$；(3) $\sqrt[3]{a^{2}}\cdot\sqrt[5]{a^{2}}$$\sqrt[3]{a^{2}} \cdot \sqrt[5]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{2}{5}} = a^{\frac{10}{15} + \frac{6}{15}} = a^{\frac{16}{15}}$。
思维启迪 (1)根据根式的运算法则计算后再化为分数指数幂；(2)化为同次根式计算后,再化为分数指数幂；(3)化为同次根式计算后,再化为分数指数幂。
解：(1) $\sqrt{a^{6}}\cdot\sqrt{a^{5}}= \sqrt{a^{6 + 5}}= \sqrt{a^{11}}= a^{\frac{11}{2}}$。
(2) $\frac{a^{3}}{\sqrt{a}}= \sqrt{\frac{a^{6}}{a}}= \sqrt{a^{5}}= a^{\frac{5}{2}}$。
(3) $\sqrt[3]{a^{2}}\cdot\sqrt[5]{a^{2}}= \sqrt[15]{a^{10}}\cdot\sqrt[15]{a^{6}}= \sqrt[15]{a^{16}}= a^{\frac{16}{15}}$。
[反思归纳] 在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是记准根式与分数指数幂的转化公式$a^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{a^{m}}和a^{-\frac{m}{n}}= \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}= \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$,其中字母$a$要使得式子有意义。

答案：
(1) $\sqrt{a^{6}} \cdot \sqrt{a^{5}} = a^{\frac{6}{2}} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{3} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{3 + \frac{5}{2}} = a^{\frac{11}{2}}$；
(2) $\frac{a^{3}}{\sqrt{a}} = a^{3} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^{3 - \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$；
(3) $\sqrt[3]{a^{2}} \cdot \sqrt[5]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{2}{5}} = a^{\frac{10}{15} + \frac{6}{15}} = a^{\frac{16}{15}}$。

[例3] 化简与求值：
(1) $(-1.8)^{0}+(\frac{3}{2})^{-2}×\sqrt[3]{(3\frac{3}{8})^{2}}-\frac{1}{\sqrt{0.01}}+\sqrt{9^{3}}$；
(2) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{(\sqrt{4ab^{-1}})^{3}}{0.1^{-2}\cdot(a^{3}b^{-3})^{\frac{1}{2}}}(a＞0,b＞0)$。
思维启迪 利用根式与分数指数幂的互化、指数的运算法则进行求解。
解：(1) $(-1.8)^{0}+(\frac{3}{2})^{-2}×\sqrt[3]{(3\frac{3}{8})^{2}}-\frac{1}{\sqrt{0.01}}+\sqrt{9^{3}}= 1+(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}-10+9^{\frac{3}{2}}= 1+(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{3}{2})^{2}-10+3^{3}= 1 + 1 - 10 + 27 = 19$。
(2) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{(\sqrt{4ab^{-1}})^{3}}{0.1^{-2}\cdot(a^{3}b^{-3})^{\frac{1}{2}}}= 4^{\frac{1}{2}}\cdot0.1^{2}\cdot\frac{2^{3}\cdot a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}= 2×\frac{1}{100}×8= \frac{4}{25}$。
[反思归纳] (1)基本原则：式子里既有指数幂又有根式时,一般把根式统一化为指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简。(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数。

答案： 【解析】：本题考查指数幂的运算，包括零指数幂、负指数幂、分数指数幂以及根式与指数幂的互化。需要将各项统一化为指数幂形式，再根据指数运算法则（同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘等）进行化简计算。
（1）先分别化简各项：$(-1.8)^0=1$；$(\frac{3}{2})^{-2}=(\frac{2}{3})^2$；$\sqrt[3]{(3\frac{3}{8})^2}=\sqrt[3]{(\frac{27}{8})^2}=(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}=((\frac{3}{2})^3)^{\frac{2}{3}}=(\frac{3}{2})^2$；$\frac{1}{\sqrt{0.01}}=\frac{1}{0.1}=10$；$\sqrt{9^3}=9^{\frac{3}{2}}=(3^2)^{\frac{3}{2}}=3^3=27$，然后将化简结果代入原式计算。
（2）同样先化简各项：$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}=2$；$0.1^{-2}=10^2=100$，所以$0.1^{2}=\frac{1}{100}$；$(\sqrt{4ab^{-1}})^3=(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{2}}a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}=2^3a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}=8a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}$；$(a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}$，然后将化简结果代入原式，分子分母中$a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}$约掉，再计算剩余部分。
【答案】：（1）解：原式$=1+(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} - 10 + 9^{\frac{3}{2}}$
$=1+(\frac{2}{3})^{2}×((\frac{3}{2})^{3})^{\frac{2}{3}} - 10 + (3^{2})^{\frac{3}{2}}$
$=1+(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{3}{2})^{2} - 10 + 3^{3}$
$=1 + 1 - 10 + 27$
$=19$
（2）解：原式$=4^{\frac{1}{2}}×\frac{(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}}{0.1^{-2}×(a^{3}b^{-3})^{\frac{1}{2}}}$
$=2×\frac{4^{\frac{3}{2}}a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{100×a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}$
$=2×\frac{(2^{2})^{\frac{3}{2}}}{100}$
$=2×\frac{8}{100}$
$=\frac{16}{100}$
$=\frac{4}{25}$

[例4] 已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}= 3$,求下列各式的值：
(1) $a + a^{-1}=$7；(2) $a^{2} + a^{-2}=$47；(3) $\frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+2}{a^{2}+a^{-2}+3}=$$\frac{2}{5}$。
思维启迪 (1)将所给的等式两边平方,整理即可求得$a + a^{-1}$的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方,整理即可求得$a^{2} + a^{-2}$的值；(3)首先利用立方和公式可得$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}= (a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a - 1 + a^{-1})$,然后结合(1)(2)的结果即可求得代数式的值。
解：(1)将$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}= 3$两边平方,得$a + a^{-1} + 2 = 9$,所以$a + a^{-1} = 7$。
(2)将$a + a^{-1} = 7$两边平方,得$a^{2} + a^{-2} + 2 = 49$,所以$a^{2} + a^{-2} = 47$。
(3)因为$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}= 3$,$a + a^{-1} = 7$,$a^{2} + a^{-2} = 47$,所以$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}= (a^{\frac{1}{2}})^{3}+(a^{-\frac{1}{2}})^{3}= (a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})(a - 1 + a^{-1})= 3×(7 - 1)= 18$,所以$\frac{a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+2}{a^{2}+a^{-2}+3}= \frac{18 + 2}{47 + 3}= \frac{2}{5}$。
[反思归纳] 求解条件求值问题的步骤：(1)审题,从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；(2)化简已知条件；(3)化简所求代数式；(4)把条件整体代入求值。

答案： 【解析】：本题考查指数幂的运算。对于（1），将已知等式$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$两边平方，利用完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$可求出$a + a^{-1}$；（2）在（1）的结果基础上，再次两边平方，同理可求出$a^2 + a^{-2}$；（3）先利用立方和公式$m^3 + n^3=(m + n)(m^2 - mn + n^2)$将$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$变形为$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a - 1 + a^{-1})$，再代入前面所求结果计算分子，结合（2）的结果计算分母，进而求出代数式的值。
【答案】：
(1)解：将$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$两边平方，
得$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$，
即$a + 2a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + a^{-1} = 9$，
因为$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^{0} = 1$，
所以$a + 2 + a^{-1} = 9$，
所以$a + a^{-1} = 7$。
(2)解：将$a + a^{-1} = 7$两边平方，
得$(a + a^{-1})^2 = 7^2$，
即$a^2 + 2a \cdot a^{-1} + a^{-2} = 49$，
因为$a \cdot a^{-1} = a^{0} = 1$，
所以$a^2 + 2 + a^{-2} = 49$，
所以$a^2 + a^{-2} = 47$。
(3)解：因为$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$，$a + a^{-1} = 7$，
所以$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 + (a^{-\frac{1}{2}})^3$
$=(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + a^{-1})$
$=(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a + a^{-1} - 1)$
$=3×(7 - 1)$
$=3×6 = 18$，
又因为$a^2 + a^{-2} = 47$，
所以$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 2}{a^2 + a^{-2} + 3} = \frac{18 + 2}{47 + 3} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$。