《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

(1)因为$x^2 - 3x + 2 = 0$的左边容易分解为两个一次因式的积,所以宜用因式分解法；(2)因为$3x^2 - 6x + 2 = 0$的左边不易分解为两个一次因式的积,所以宜用配方法或公式法。
解：(1)由$x^2 - 3x + 2 = 0$,得$(x - 1)(x - 2) = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = 2$。
(2)方法一(配方法)：方程$3x^2 - 6x + 2 = 0$两边同时除以3,得$x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$,
移项,得$x^2 - 2x = -\frac{2}{3}$,
配方,得$x^2 - 2x + (-1)^2 = -\frac{2}{3} + (-1)^2$,即$(x - 1)^2 = \frac{1}{3}$,
所以$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3},x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$。
方法二(公式法)：$\Delta = (-6)^2 - 4 × 3 × 2 = 36 - 24 = 12 ＞ 0$,由求根公式得$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{\Delta}}{2 × 3} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3},x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$。
[反思归纳] 若一元二次方程中的二次三项式容易分解成两个一次因式的积,则选用因式分解法；否则,选用配方法或公式法。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程的解法。对于方程（1）$x^2 - 3x + 2 = 0$，其左边二次三项式易于分解为两个一次因式的积，故选用因式分解法求解；对于方程（2）$3x^2 - 6x + 2 = 0$，左边不易分解因式，所以可选用配方法或公式法。配方法是通过变形将方程化为完全平方式来求解，公式法则是直接利用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$（其中$\Delta = b^2 - 4ac$）计算方程的根。
【答案】：
(1)解：由$x^2 - 3x + 2 = 0$，得$(x - 1)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
(2)方法一（配方法）：解：方程$3x^2 - 6x + 2 = 0$两边同时除以3，得$x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$，移项，得$x^2 - 2x = -\frac{2}{3}$，配方，得$x^2 - 2x + (-1)^2 = -\frac{2}{3} + (-1)^2$，即$(x - 1)^2 = \frac{1}{3}$，所以$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$。
方法二（公式法）：解：在方程$3x^2 - 6x + 2 = 0$中，$a = 3$，$b = -6$，$c = 2$，$\Delta = (-6)^2 - 4×3×2 = 36 - 24 = 12＞0$，由求根公式得$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2×3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$。

[例2] 已知关于$x的方程x(mx - 4) = (x + 2)(x - 2)$。
(1)若方程只有一个根,求$m$的值并求出此时方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程的根的判别式及方程的求解。首先需要将原方程化为一般形式，然后根据方程根的情况（只有一个根、两个不相等的实数根）利用判别式$\Delta = b^2 - 4ac$进行分析计算。
（1）先将方程化为一般形式：$x(mx - 4) = (x + 2)(x - 2)$，展开左边得$mx^2 - 4x$，右边展开得$x^2 - 4$，移项合并同类项可得$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0$。当方程只有一个根时，分两种情况：一是方程为一元一次方程（二次项系数为0），此时有一个根；二是方程为一元二次方程且判别式$\Delta = 0$，此时有两个相等的实数根（也可视为只有一个根）。分别求解这两种情况的$m$值及对应的根。
（2）方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程（二次项系数不为0）且判别式$\Delta ＞ 0$，据此列出不等式求解$m$的取值范围。
【答案】：（1）解：将原方程化为一般形式：
$\begin{aligned}x(mx - 4) &= (x + 2)(x - 2)\\mx^2 - 4x &= x^2 - 4\\(m - 1)x^2 - 4x + 4 &= 0\end{aligned}$
当$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，方程化为$-4x + 4 = 0$，是一元一次方程，解得$x = 1$。
当$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$时，方程为一元二次方程，若方程只有一个根，则$\Delta = (-4)^2 - 4(m - 1)×4 = 0$，即：
$\begin{aligned}16 - 16(m - 1) &= 0\\1 - (m - 1) &= 0\\m - 1 &= 1\\m &= 2\end{aligned}$
此时方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$。
综上，$m = 1$时，方程的根为$x = 1$；$m = 2$时，方程的根为$x_1 = x_2 = 2$。
（2）解：若方程有两个不相等的实数根，则$\begin{cases}m - 1 \neq 0\\\Delta = (-4)^2 - 4(m - 1)×4 ＞ 0\end{cases}$，即：
$\begin{cases}m \neq 1\\16 - 16(m - 1) ＞ 0\end{cases}$
由$16 - 16(m - 1) ＞ 0$得$m - 1 ＜ 1$，即$m ＜ 2$。
所以$m$的取值范围是$m ＜ 2$且$m \neq 1$。

(1)将方程化简为一元二次方程的标准形式,即$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0$,再分$m = 1和m \neq 1$两种情况,分类讨论求解；(2)二次项系数$m - 1 \neq 0$,根据一元二次方程根的判别式大于0求解。
解：(1)方程$x(mx - 4) = (x + 2)(x - 2)$,可化为$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0$。分以下两种情况：①当$m = 1$时,方程为$-4x + 4 = 0$,解得$x = 1$,符合题意；②当$m \neq 1$时,方程$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0为关于x$的一元二次方程。由题意,得$\Delta = (-4)^2 - 4 × (m - 1) × 4 = 0$,解得$m = 2$,此时方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$,解得$x_1 = x_2 = 2$。综上,当$m = 1$时,方程的根为$x = 1$；当$m = 2$时,方程的根为$x = 2$。
(2)方程为$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0$,若方程有两个不相等的实数根,则$\begin{cases}m - 1 \neq 0,\\\Delta = (-4)^2 - 4 × (m - 1) × 4 ＞ 0,\end{cases} 解得m ＜ 2且m \neq 1$。
[反思归纳] 当二次项的系数含有字母参数时,应考虑“一元二次方程”这个隐含条件,即方程中的二次项系数不能为零,作为先决条件。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程的相关知识，包括方程的化简、根的判别式以及分类讨论思想。对于含参数的方程，需先将其化为标准形式，再根据二次项系数是否为零分情况讨论方程类型（一元一次或一元二次），进而求解方程的根或确定参数的取值范围。
（1）将给定方程化为标准形式后，分$m = 1$（此时为一元一次方程）和$m \neq 1$（此时为一元二次方程）两种情况。当为一元二次方程时，利用根的判别式$\Delta = 0$求出参数$m$的值，进而得到方程的根。
（2）对于方程有两个不相等实数根的情况，需保证方程为一元二次方程（二次项系数不为零）且根的判别式$\Delta ＞ 0$，联立不等式组求解参数$m$的取值范围。
【答案】：
（1）解：方程$x(mx - 4) = (x + 2)(x - 2)$，
展开得$mx^2 - 4x = x^2 - 4$，
移项、合并同类项化为标准形式：$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0$。
分两种情况讨论：
①当$m = 1$时，方程化为$-4x + 4 = 0$，
解得$x = 1$。
②当$m \neq 1$时，方程为一元二次方程，
$\Delta = (-4)^2 - 4×(m - 1)×4 = 16 - 16(m - 1) = 0$，
即$16 - 16m + 16 = 0$，
$32 - 16m = 0$，
解得$m = 2$，
此时方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$，
$(x - 2)^2 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = 2$。
综上，当$m = 1$时，方程的根为$x = 1$；当$m = 2$时，方程的根为$x_1 = x_2 = 2$。
（2）解：方程$(m - 1)x^2 - 4x + 4 = 0$有两个不相等的实数根，
则$\begin{cases}m - 1 \neq 0 \\ \Delta = (-4)^2 - 4×(m - 1)×4 ＞ 0\end{cases}$，
由$m - 1 \neq 0$得$m \neq 1$，
由$\Delta ＞ 0$得$16 - 16(m - 1) ＞ 0$，
$1 - (m - 1) ＞ 0$，
$1 - m + 1 ＞ 0$，
$2 - m ＞ 0$，
解得$m ＜ 2$，
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 2$且$m \neq 1$。

[例3] 若$x_1和x_2分别是一元二次方程2x^2 + 4x - 3 = 0$的两根,试用根与系数的关系求下列各式的值。
(1)$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$；
(2)$x_1^3 + x_2^3$。

答案： 【解析】：本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。题目给出方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$，可先求出$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值，再将所求式子通过变形转化为用这两个和与积表示的形式，进而代入计算。
(1) 对于$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$，先通分得到$\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2}$，而$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，$x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2$，代入$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值即可求解。
(2) 对于$x_1^3 + x_2^3$，利用立方和公式$x_1^3 + x_2^3=(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$，其中$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入前面已求得的$x_1 + x_2$、$x_1x_2$以及$x_1^2 + x_2^2$的值进行计算。
【答案】：解：对于方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$，$a = 2$，$b = 4$，$c=-3$。
由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$。
(1) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$
$=\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2}$
$=\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$
将$x_1 + x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入上式：
$=\frac{(-2)^2 - 2×(-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2}$
$=\frac{4 + 3}{\frac{9}{4}}$
$=\frac{7}{\frac{9}{4}}$
$=\frac{28}{9}$
(2) $x_1^3 + x_2^3$
$=(x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$
$=(x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2]$
将$x_1 + x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入上式：
$=(-2)[(-2)^2 - 3×(-\frac{3}{2})]$
$=(-2)[4 + \frac{9}{2}]$
$=(-2)×\frac{17}{2}$
$=-17$