《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3] 已知幂函数$y = f(x)的图象过点(2,8)$。
(1) 求幂函数$f(x)$的解析式并判断其奇偶性；
(2) 判断函数$f(x)$的单调性,并用定义证明你的结论；
(3) 比较$1.1^{3}与1.2^{3}$的大小。
解：(1) 设幂函数的解析式为$f(x)= x^{\alpha}$,将点$(2,8)$代入函数的解析式,得$f(2)= 2^{\alpha}=8$,解得$\alpha = 3$,故$f(x)= x^{3}$,$x\in\mathbf{R}$。又$f(-x)= -x^{3}= -f(x)$,故$f(x)$是奇函数。
(2) 函数$f(x)在\mathbf{R}$上单调递增。
证明如下：
设$x_{1}\lt x_{2}$,则$f(x_{1})-f(x_{2})= x_{1}^{3}-x_{2}^{3}= (x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})= (x_{1}-x_{2})[(x_{1}+\frac{1}{2}x_{2})^{2}+\frac{3}{4}x_{2}^{2}]$。
因为$x_{1}\lt x_{2}$,所以$x_{1}-x_{2}\lt0$,$(x_{1}+\frac{1}{2}x_{2})^{2}+\frac{3}{4}x_{2}^{2}\gt0$,
所以$f(x_{1})-f(x_{2})\lt0$,即$f(x_{1})\lt f(x_{2})$,故$f(x)在\mathbf{R}$上单调递增。
(3) 由(2)知$f(x)= x^{3}在\mathbf{R}$上单调递增,又$1.1^{3}= f(1.1)$,$1.2^{3}= f(1.2)$,且$1.1\lt1.2$,所以$f(1.1)\lt f(1.2)$,故$1.1^{3}\lt1.2^{3}$。
[反思归纳] 判断幂函数$y = x^{\alpha}$的单调性：如果$\alpha\gt0$,那么$f(x)在(0,+\infty)$上单调递增；如果$\alpha\lt0$,那么$f(x)在(0,+\infty)$上单调递减。

答案： 【解析】：本题考查幂函数的解析式求解、奇偶性判断、单调性证明及应用。
（1）设幂函数解析式为$f(x)=x^{\alpha}$，代入已知点可求$\alpha$，进而得解析式，再根据奇函数定义判断奇偶性。
（2）根据幂函数性质先判断单调性，再用定义证明，作差变形后判断符号。
（3）利用（2）中单调性比较大小。
【答案】：
(1) 设幂函数的解析式为$f(x)=x^{\alpha}$，
将点$(2,8)$代入函数的解析式，得$f(2)=2^{\alpha}=8$，
解得$\alpha = 3$，
故$f(x)=x^{3}$，$x\in\mathbf{R}$。
又$f(-x)=-x^{3}=-f(x)$，
故$f(x)$是奇函数。
(2) 函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增。
证明如下：
设$x_{1}\lt x_{2}$，
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=(x_{1}-x_{2})\left[(x_{1}+\frac{1}{2}x_{2})^{2}+\frac{3}{4}x_{2}^{2}\right]$。
因为$x_{1}\lt x_{2}$，
所以$x_{1}-x_{2}\lt0$，
$\left(x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}x_{2}^{2}\gt0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})\lt0$，
即$f(x_{1})\lt f(x_{2})$，
故$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增。
(3) 由
(2)知$f(x)=x^{3}$在$\mathbf{R}$上单调递增，
又$1.1^{3}=f(1.1)$，$1.2^{3}=f(1.2)$，
且$1.1\lt1.2$，
所以$f(1.1)\lt f(1.2)$，
故$1.1^{3}\lt1.2^{3}$。

1. (对应题型一) 下列函数为幂函数的是(D)
A. $y = 2x^{2}$
B. $y = 2x^{2}-1$
C. $y = \frac{2}{x}$
D. $y = x^{2}$

答案： 幂函数的定义为形如$y = x^{\alpha}$（$\alpha$为常数）的函数。
- 选项A：$y = 2x^{2}$，系数为2不为1，不是幂函数。
- 选项B：$y = 2x^{2}-1$，含有常数项-1，不是幂函数。
- 选项C：$y = \frac{2}{x}=2x^{-1}$，系数为2不为1，不是幂函数。
- 选项D：$y = x^{2}$，符合幂函数定义。
答案：D

2. (对应题型二) 下列三个幂函数的图象对应的函数可能是(A)

A.①$y = x^{-1}$,②$y = x^{\frac{1}{2}}$,③$y = x^{\frac{1}{3}}$
B.①$y = x^{-1}$,②$y = x^{\frac{1}{3}}$,③$y = x^{\frac{1}{2}}$
C.①$y = x^{\frac{1}{3}}$,②$y = x^{\frac{1}{2}}$,③$y = x^{-1}$
D.①$y = x^{\frac{1}{3}}$,②$y = x^{-1}$,③$y = x^{\frac{1}{2}}$

答案： 【解析】：本题考查幂函数的图像与性质。幂函数的一般形式为$y = x^{\alpha}$，不同的指数$\alpha$对应不同的图像特征。
对于①图，图像分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。当$\alpha=-1$时，函数$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$，其定义域为$x\neq0$，图像为双曲线，分布在第一、三象限，在各自象限内单调递减，符合①图特征。
对于②图，图像只分布在第一象限，且过原点$(0,0)$，$y$随$x$的增大而增大，增长速度逐渐变慢。当$\alpha=\frac{1}{2}$时，函数$y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，定义域为$x\geq0$，图像在第一象限，过原点，单调递增，符合②图特征。
对于③图，图像分布在第一、三象限，过原点$(0,0)$，在定义域内单调递增。当$\alpha=\frac{1}{3}$时，函数$y = x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$，定义域为$R$，图像分布在第一、三象限，过原点，单调递增，符合③图特征。
综上，①对应$y = x^{-1}$，②对应$y = x^{\frac{1}{2}}$，③对应$y = x^{\frac{1}{3}}$，答案为A选项。
【答案】：A