《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 2] 求下列函数的单调区间：
(1) $ y = \frac{x + 1}{x + 2} $；
(2) $ y = (x + 3)|x - 1| $。

答案：
思维启迪
(1) 对解析式变形得 $ y = \frac{x + 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2} $,由反比例函数的单调性写出单调区间；
(2) 脱去绝对值符号,化为分段函数,作出函数的图象,根据图象写出单调区间。
解：
(1) 由题意,得函数的定义域为 $ \{x|x \neq -2\} $,$ y = \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 2) - 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2} $。因为函数 $ y = \frac{1}{x + 2} $ 的单调递减区间为 $ (-\infty, -2), (-2, +\infty) $,所以函数 $ y = \frac{x + 1}{x + 2} $ 的单调递增区间为 $ (-\infty, -2), (-2, +\infty) $,无单调递减区间。
(2) 由题意,得函数的定义域为 $ \mathbf{R} $,$ y = (x + 3)|x - 1| = \begin{cases} (x + 3)(x - 1), x \geq 1 \\ (x + 3)(1 - x), x ＜ 1 \end{cases} = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, x \geq 1 \\ -x^2 - 2x + 3, x ＜ 1 \end{cases} = \begin{cases} (x + 1)^2 - 4, x \geq 1 \\ -(x + 1)^2 + 4, x ＜ 1 \end{cases} $。
作出函数的图象,如图所示。

由图象可知,函数 $ y = (x + 3)|x - 1| $ 的单调递增区间为 $ (-\infty, -1), (1, +\infty) $；单调递减区间为 $ (-1, 1) $。
[反思归纳]
(1) 求函数单调区间的常用方法：① 若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,则可根据其单调性写出函数的单调区间；② 图象法,若函数在某区间上的图象从左向右上升,则该区间是单调递增区间；若函数在某区间上的图象从左向右下降,则该区间是单调递减区间。
(2) 单调区间必须是函数的定义域或定义域的子集,当单调区间不连续时,单调区间用“,”或“和”字连接,不能使用符号“$\cup$”连接。
(3) 区间端点的写法：对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调问题,因此写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些点无意义时,单调区间就不包括这些点。