《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例2] 解方程：
(1) $ |x - 2| = 3 $；
(2) $ |x + 1| = |x - 3| $。

答案： 【解析】：本题考查解绝对值方程。对于绝对值方程|A|=B（B≥0），其等价于A=B或A=-B。
（1）方程|x - 2| = 3，根据绝对值的性质，可转化为x - 2 = 3或x - 2 = -3，分别求解即可。
（2）方程|x + 1| = |x - 3|，两边平方可消去绝对值符号，得到(x + 1)² = (x - 3)²，展开后求解方程。
【答案】：
(1)解：|x - 2| = 3
∴x - 2 = 3或x - 2 = -3
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
(2)解：|x + 1| = |x - 3|
两边平方得：(x + 1)² = (x - 3)²
展开得：$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9$
移项合并同类项得：8x = 8
解得x = 1
即$x_1 = x_2 = 1$

(1) 根据绝对值的意义脱去绝对值符号求解；(2) 利用两边平方法脱去绝对值符号求解。
解：(1) 由$ |x - 2| = 3 $,得$ x - 2 = 3 或 x - 2 = -3 $,解得$ x = 5 或 x = -1 $。
(2) 由$ |x + 1| = |x - 3| $,两边平方,得$ (x + 1)^2 = (x - 3)^2 $,即$ x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 $,化简,得$ 8x = 8 $,解得$ x = 1 $。
[反思归纳] (1) $ |ax + b| = c(c ＞ 0) \Leftrightarrow ax + b = c 或 ax + b = -c $(利用绝对值的意义脱去绝对值符号)；(2) $ |ax + b| = |cx + d| \Leftrightarrow (ax + b)^2 = (cx + d)^2 $(利用两边平方法脱去绝对值符号)。

答案： 【解析】：本题考查绝对值方程的求解方法。对于形如$|ax + b| = c(c ＞ 0)$的方程，根据绝对值的意义，绝对值符号内的代数式的值为$c$或$-c$，从而将绝对值方程转化为两个一元一次方程求解；对于形如$|ax + b| = |cx + d|$的方程，利用两边平方的方法，可消除绝对值符号，再通过化简求解。
(1) 对于方程$|x - 2| = 3$，依据绝对值的意义，绝对值等于$3$的数有两个，即$3$和$-3$，所以$x - 2 = 3$或$x - 2 = -3$，分别解这两个一元一次方程即可得到$x$的值。
(2) 对于方程$|x + 1| = |x - 3|$，由于等式两边都是绝对值的形式，两边平方后，绝对值符号可去掉，得到$(x + 1)^2 = (x - 3)^2$，然后展开并化简方程，即可求出$x$的值。
【答案】：
(1) 解：由$|x - 2| = 3$，
得$x - 2 = 3$或$x - 2 = -3$，
解得$x = 5$或$x = -1$。
(2) 解：由$|x + 1| = |x - 3|$，
两边平方，得$(x + 1)^2 = (x - 3)^2$，
即$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9$，
化简，得$8x = 8$，
解得$x = 1$。

[例3] 解不等式：
(1) $ |x| ＜ 2 $；
(2) $ |x| \geq 3 $；
(3) $ |x - 1| ＜ 3 $。

答案： 【解析】：本题考查绝对值不等式的解法，属于九年级数学内容，题型为解答题中的解不等式题。对于绝对值不等式，需根据绝对值的几何意义或性质进行求解。|x|＜a（a＞0）的解集为-a＜x＜a；|x|≥a（a＞0）的解集为x≤-a或x≥a；对于|x - b|＜c（c＞0），可转化为 -c＜x - b＜c 求解。
【答案】：解：
(1) $ |x| ＜ 2 $
根据绝对值的性质，得$ -2 ＜ x ＜ 2 $
(2) $ |x| \geq 3 $
根据绝对值的性质，得$ x \leq -3 $或$ x \geq 3 $
(3) $ |x - 1| ＜ 3 $
根据绝对值的性质，得$ -3 ＜ x - 1 ＜ 3 $
不等式两边同时加1，得$ -2 ＜ x ＜ 4 $

(1)(2) 利用绝对值的几何意义求解；(3) 将$ x - 1 $看作一个整体,利用绝对值的几何意义求解。
解：(1) $ |x| ＜ 2 $,就是数轴上表示$ x $的点到原点的距离小于2,如图所示,

所以原不等式的解为$ -2 ＜ x ＜ 2 $。
(2) $ |x| \geq 3 $,就是数轴上表示$ x $的点到原点的距离大于或等于3,如图所示,

所以原不等式的解为$ x \leq -3 或 x \geq 3 $。
(3) $ |x - 1| ＜ 3 同解于 -3 ＜ x - 1 ＜ 3 $,即$ -2 ＜ x ＜ 4 $,所以原不等式的解为$ -2 ＜ x ＜ 4 $。
[反思归纳] (1) $ |x| ＜ a(a ＞ 0) 的解为 -a ＜ x ＜ a $；(2) $ |x| ＞ a(a ＞ 0) 的解为 x ＜ -a 或 x ＞ a $；(3) $ |ax + b| ＜ c(c ＞ 0) \Leftrightarrow -c ＜ ax + b ＜ c $；(4) $ |ax + b| ＞ c(c ＞ 0) \Leftrightarrow ax + b ＜ -c 或 ax + b ＞ c $。

答案： 【解析】：本题考查绝对值的几何意义及简单绝对值不等式的解法。绝对值的几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离，对于形如$|x| ＜ a$（$a＞0$）的不等式，其解为$-a ＜ x ＜ a$；形如$|x| \geq a$（$a＞0$）的不等式，其解为$x \leq -a$或$x \geq a$。对于含绝对值的代数式，可将代数式看作一个整体，利用上述结论求解。
(1) 对于$|x| ＜ 2$，根据绝对值的几何意义，数轴上表示$x$的点到原点的距离小于2，所以$x$在$-2$和$2$之间。
(2) 对于$|x| \geq 3$，数轴上表示$x$的点到原点的距离大于或等于3，所以$x$在$-3$及左边或$3$及右边。
(3) 对于$|x - 1| ＜ 3$，将$x - 1$看作一个整体，根据$|A| ＜ a$（$a＞0$）的解为$-a ＜ A ＜ a$，可得$-3 ＜ x - 1 ＜ 3$，解这个不等式即可得到$x$的范围。
【答案】：
(1) 解：$|x| ＜ 2$，就是数轴上表示$x$的点到原点的距离小于2，
图略
所以原不等式的解为$-2 ＜ x ＜ 2$。
(2) 解：$|x| \geq 3$，就是数轴上表示$x$的点到原点的距离大于或等于3，
图略
所以原不等式的解为$x \leq -3$或$x \geq 3$。
(3) 解：$|x - 1| ＜ 3$同解于$-3 ＜ x - 1 ＜ 3$，
即$-2 ＜ x ＜ 4$，
所以原不等式的解为$-2 ＜ x ＜ 4$。

[例4] 解不等式：
(1) $ |x + 3| ＞ |x - 5| $；
(2) $ |x + 2| + |x - 1| ＜ 5 $。

答案： 【解析】：本题考查绝对值不等式的解法，属于九年级数学内容。对于含绝对值的不等式，可根据绝对值的几何意义或通过分类讨论去掉绝对值符号来求解。
(1) 对于不等式$|x + 3| ＞ |x - 5|$，两边平方可去掉绝对值符号（因为两边均为非负数），得到$(x + 3)^2＞(x - 5)^2$，展开后化简求解。
(2) 对于不等式$|x + 2| + |x - 1| ＜ 5$，先找到绝对值内式子为零的点$x=-2$和$x=1$，将数轴分为三段：$x＜-2$，$-2≤x≤1$，$x＞1$，在每一段内去掉绝对值符号，转化为普通不等式求解，最后取各段解集的并集。
【答案】：
(1) 解：$|x + 3| ＞ |x - 5|$
两边平方得：$(x + 3)^2＞(x - 5)^2$
展开得：$x^2 + 6x + 9＞x^2 - 10x + 25$
移项合并同类项得：$16x＞16$
解得：$x＞1$
(2) 解：令$x + 2 = 0$，得$x=-2$；令$x - 1 = 0$，得$x=1$。
当$x＜-2$时，原不等式化为$-(x + 2) - (x - 1)＜5$
即$-x - 2 - x + 1＜5$
$-2x - 1＜5$
$-2x＜6$
解得$x＞-3$，此时解集为$-3＜x＜-2$。
当$-2≤x≤1$时，原不等式化为$(x + 2) - (x - 1)＜5$
即$x + 2 - x + 1＜5$
$3＜5$，恒成立，此时解集为$-2≤x≤1$。
当$x＞1$时，原不等式化为$(x + 2) + (x - 1)＜5$
即$2x + 1＜5$
$2x＜4$
解得$x＜2$，此时解集为$1＜x＜2$。
综上，原不等式的解集为$-3＜x＜2$。

(1) 利用两边平方法或绝对值的几何意义求解；(2) 利用零点分段法或绝对值的几何意义求解。
解：(1) 方法一：因为$ |x + 3| \geq 0,|x - 5| \geq 0 $,所以$ |x + 3| ＞ |x - 5| 同解于 (x + 3)^2 ＞ (x - 5)^2 $,即$ x^2 + 6x + 9 ＞ x^2 - 10x + 25 $,化简,得$ 16x ＞ 16 $,解得$ x ＞ 1 $,所以原不等式的解为$ x ＞ 1 $。
方法二：由$ |x + 3| = |x - 5| $,得$ x = 1 $。$ |x + 3| ＞ |x - 5| 的几何意义是数轴上表示 x 的点到 -3 $的距离大于到5的距离。因为数轴上1到$ -3 $的距离等于到5的距离,所以数轴上表示$ x $的点在1的右侧,所以原不等式的解为$ x ＞ 1 $。
(2) 方法一：当$ x ＜ -2 $时,原不等式同解于$ \begin{cases} x ＜ -2, \\ -(x + 2) - (x - 1) ＜ 5, \end{cases} 解得 -3 ＜ x ＜ -2 $；当$ -2 \leq x \leq 1 $时,原不等式同解于$ \begin{cases} -2 \leq x \leq 1, \\ (x + 2) - (x - 1) ＜ 5, \end{cases} 解得 -2 \leq x \leq 1 $；当$ x ＞ 1 $时,原不等式同解于$ \begin{cases} x ＞ 1, \\ (x + 2) + (x - 1) ＜ 5, \end{cases} 解得 1 ＜ x ＜ 2 $。综上,原不等式的解为$ -3 ＜ x ＜ 2 $。
方法二：$ |x + 2| + |x - 1| ＜ 5 的几何意义是数轴上表示 x $的点到1和$ -2 $的两点的距离之和小于5。由数轴可知,$ 1 - (-2) = 3 ＜ 5 $,易知当$ x = -3 或 x = 2 $时,$ |x + 2| + |x - 1| = 5 $,所以$ x 位于 -3 $和2之间(不含端点),所以$ -3 ＜ x ＜ 2 $,所以原不等式的解为$ -3 ＜ x ＜ 2 $。
[反思归纳] (1) $ |x + a| ＜ |x + b| $型的不等式,可用两边平方法脱去绝对值符号,转化为一元一次不等式求解,也可用绝对值的几何意义求解；(2) $ |x + a| \pm |x + b| ＜ c(c ＞ 0) $型的不等式可用零点分段法求解,也可用绝对值的几何意义求解。

答案： 【解析】：本题考查绝对值不等式的求解。（1）对于$|x + 3|＞|x - 5|$，可利用两边平方法，因为绝对值非负，平方后不等号方向不变，转化为一元一次不等式求解；也可根据绝对值几何意义，即数轴上点到$-3$和$5$的距离大小关系求解。（2）对于$|x + 2| + |x - 1|＜5$，零点分段法是根据绝对值内式子为零的点分区间讨论，去掉绝对值符号求解；几何意义是数轴上点到$-2$和$1$的距离之和小于$5$，结合数轴找到满足条件的区间。
【答案】：（1）原不等式的解为$x＞1$；（2）原不等式的解为$-3＜x＜2$