《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 化简代数式：$ |x + 2| + |x - 4| $。

答案： 【解析】：本题考查绝对值的化简，需要根据绝对值内代数式的正负性来去掉绝对值符号。对于绝对值表达式$|x + 2| + |x - 4|$，关键是找到使绝对值内式子为零的点，即$x + 2 = 0$得$x=-2$，$x - 4 = 0$得$x=4$。这两个点将数轴分为三个区间：$x ＜ -2$，$-2 \leq x \leq 4$，$x ＞ 4$。在每个区间内分别确定绝对值内式子的正负，进而去掉绝对值符号进行化简。
【答案】：解：令$x + 2 = 0$，得$x=-2$；令$x - 4 = 0$，得$x=4$。
当$x ＜ -2$时，$x + 2 ＜ 0$，$x - 4 ＜ 0$，
原式$=-(x + 2) + [-(x - 4)]$
$=-x - 2 - x + 4$
$=-2x + 2$
当$-2 \leq x \leq 4$时，$x + 2 \geq 0$，$x - 4 \leq 0$，
原式$=(x + 2) + [-(x - 4)]$
$=x + 2 - x + 4$
$=6$
当$x ＞ 4$时，$x + 2 ＞ 0$，$x - 4 ＞ 0$，
原式$=(x + 2) + (x - 4)$
$=x + 2 + x - 4$
$=2x - 2$
综上，化简结果为：当$x ＜ -2$时，$-2x + 2$；当$-2 \leq x \leq 4$时，$6$；当$x ＞ 4$时，$2x - 2$。

令$ |x + 2| = 0 $,得$ x = -2 $；令$ |x - 4| = 0 $,得$ x = 4 $,则$ -2 和 4 把数轴分成 x \leq -2,-2 ＜ x ＜ 4,x \geq 4 $三部分,然后分别在这三部分内,脱去绝对值符号并化简,最后整体分段表示。
解：当$ x \leq -2 $时,$ |x + 2| + |x - 4| = -(x + 2) - (x - 4) = -2x + 2 $；当$ -2 ＜ x ＜ 4 $时,$ |x + 2| + |x - 4| = (x + 2) - (x - 4) = 6 $；当$ x \geq 4 $时,$ |x + 2| + |x - 4| = (x + 2) + (x - 4) = 2x - 2 $。综上,$ |x + 2| + |x - 4| = \begin{cases} -2x + 2,x \leq 2, \\ 6,-2 ＜ x ＜ 4, \\ 2x - 2,x \geq 4. \end{cases} $
[反思归纳] 先求出使得每个绝对值符号内的式子等于零的未知数的值,再将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成“若干段”,最后讨论每个绝对值符号内的式子在“每段”上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含绝对值的式子。这种方法称为零点分段法。

答案： 【解析】：本题考查绝对值的化简，运用了零点分段法。先找到使绝对值内式子为零的点，即零点：令$|x + 2| = 0$，得$x = -2$；令$|x - 4| = 0$，得$x = 4$。这两个零点将数轴分成三段：$x \leq -2$，$-2 ＜ x ＜ 4$，$x \geq 4$。然后在每一段内根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行化简。
【答案】：$|x + 2| + |x - 4| = \begin{cases} -2x + 2,x \leq -2, \\ 6,-2 ＜ x ＜ 4, \\ 2x - 2,x \geq 4. \end{cases}$