《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1) $ f(x) = x^4 $；
(2) $ f(x) = x^5 $；
(3) $ f(x) = x + \frac{1}{x} $；
(4) $ f(x) = \frac{1}{x^2} $。
思维启迪 先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称,再判断 $ f(-x) = \pm f(x) $ 能否成立。
解：(1) 函数 $ f(x) = x^4 $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $。因为 $ \forall x \in \mathbf{R} $,都有 $ -x \in \mathbf{R} $,且 $ f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x) $,所以函数 $ f(x) $ 为偶函数。
(2) 函数 $ f(x) = x^5 $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $。因为 $ \forall x \in \mathbf{R} $,都有 $ -x \in \mathbf{R} $,且 $ f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x) $,所以函数 $ f(x) $ 为奇函数。
(3) 函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ 的定义域为 $ \{ x | x \neq 0 \} $。因为 $ \forall x \in \{ x | x \neq 0 \} $,都有 $ -x \in \{ x | x \neq 0 \} $,且 $ f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -\left( x + \frac{1}{x} \right) = -f(x) $,所以函数 $ f(x) $ 为奇函数。
(4) 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2} $ 的定义域为 $ \{ x | x \neq 0 \} $。因为 $ \forall x \in \{ x | x \neq 0 \} $,都有 $ -x \in \{ x | x \neq 0 \} $,且 $ f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x) $,所以函数 $ f(x) $ 为偶函数。
[反思归纳] 利用定义判断奇偶性的步骤：
(1) 先求出函数的定义域,判断定义域是否关于坐标原点对称。若定义域不关于坐标原点对称,则函数是非奇非偶函数。若定义域关于坐标原点对称,进行第(2)步。
(2) 判断 $ f(-x) = \pm f(x) $ 是否成立,若 $ f(-x) = -f(x) $,则 $ f(x) $ 是奇函数。若 $ f(-x) = f(x) $,则 $ f(x) $ 是偶函数。若 $ f(-x) \neq \pm f(x) $,则 $ f(x) $ 是非奇非偶函数。

答案： 【解析】：本题考查函数奇偶性的判断。判断函数奇偶性需先确定定义域是否关于原点对称，若对称，再验证$f(-x)$与$f(x)$的关系：若$f(-x)=f(x)$为偶函数，若$f(-x)=-f(x)$为奇函数。
(1) 对于$f(x)=x^4$，定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称。计算$f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$，满足偶函数定义。
(2) 对于$f(x)=x^5$，定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称。计算$f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)$，满足奇函数定义。
(3) 对于$f(x)=x+\frac{1}{x}$，定义域为$\{x|x\neq0\}$，关于原点对称。计算$f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$，满足奇函数定义。
(4) 对于$f(x)=\frac{1}{x^2}$，定义域为$\{x|x\neq0\}$，关于原点对称。计算$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$，满足偶函数定义。
【答案】：
(1) 偶函数；
(2) 奇函数；
(3) 奇函数；
(4) 偶函数

[例2] 若函数 $ f(x) = ax^2 + bx + 3a + b $ 是定义在 $ [a - 1, 2a] $ 上的偶函数,求实数 $ a $,$ b $ 的值。
思维启迪 先根据定义域关于坐标原点对称求出 $ a $ 的值,再根据 $ f(-x) = f(x) $ 是定义域上的恒等式,对应项系数相等,得关于 $ b $ 的方程,解方程求出 $ b $ 的值。
解：因为偶函数的定义域关于坐标原点对称,所以 $ a - 1 = -2a $,解得 $ a = \frac{1}{3} $。又因为 $ f(x) = ax^2 + bx + 3a + b $ 为偶函数,所以 $ f(-x) = f(x) $ 在定义域上恒成立,即 $ a(-x)^2 + b(-x) + 3a + b = ax^2 + bx + 3a + b $ 在定义域上恒成立,化简得 $ ax^2 - bx + 3a + b = ax^2 + bx + 3a + b $,得 $ -b = b $,解得 $ b = 0 $。综上,$ a = \frac{1}{3} $,$ b = 0 $。
[反思归纳] 利用奇偶性求参数的常见类型：
(1) 定义域含参数,奇(偶)函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [a, b] $,根据定义域关于坐标原点对称,利用 $ a + b = 0 $ 求参数；
(2) 解析式含参数,根据定义域上的恒等式 $ f(-x) = \pm f(x) $ 列式,比较系数利用待定系数法求解。

答案： 【解析】：本题考查函数的奇偶性。首先，根据偶函数定义域关于原点对称的性质，可列出关于$a$的方程求解$a$的值；然后，利用偶函数满足$f(-x)=f(x)$这一恒等式，通过化简等式得到关于$b$的方程，进而求出$b$的值。
【答案】：解：因为函数$f(x)$是定义在$[a - 1, 2a]$上的偶函数，所以其定义域关于原点对称。
则有$a - 1 = -2a$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
又因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$对定义域内任意$x$恒成立。
已知$f(x)=ax^2 + bx + 3a + b$，则$f(-x)=a(-x)^2 + b(-x) + 3a + b=ax^2 - bx + 3a + b$。
因为$f(-x)=f(x)$，所以$ax^2 - bx + 3a + b=ax^2 + bx + 3a + b$，
化简得$-bx = bx$，即$-b = b$，
解得$b = 0$。
综上，$a=\frac{1}{3}$，$b = 0$。