《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3]已知$a＞0,b＞0,a+b= 1$,求证:
(1)$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}≥4$;
(2)$(1+\frac {1}{a})(1+\frac {2}{b})≥8+4\sqrt {3}$.

答案： 【解析】：本题考查基本不等式的应用。（1）已知$a＞0,b＞0,a+b=1$，将$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，再利用$a+b=1$可得$\frac{1}{ab}$，然后根据基本不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$求出$ab$的取值范围，进而证明结论；（2）将$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})$展开，结合$a+b=1$用$a$表示$b$，代入式子后利用基本不等式求最小值。
【答案】：证明：
(1)
∵$a＞0,b＞0,a+b=1$
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{ab}$
∵$a+b≥2\sqrt{ab}$
∴$1≥2\sqrt{ab}$
∴$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}$
∴$ab≤\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{ab}≥4$
即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥4$
(2)
∵$a+b=1$
∴$b=1 - a$
∵$a＞0,b＞0$
∴$0＜a＜1$
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{1 - a})$
$=(\frac{a + 1}{a})(\frac{1 - a + 2}{1 - a})$
$=\frac{(a + 1)(3 - a)}{a(1 - a)}$
令$t = a$，则$0＜t＜1$
原式$=\frac{(t + 1)(3 - t)}{t(1 - t)}=\frac{-t^2 + 2t + 3}{-t^2 + t}$
$=1 + \frac{t + 2}{-t^2 + t}$
设$m = t + 2$，则$t = m - 2$，$2＜m＜3$
原式$=1 + \frac{m}{-(m - 2)^2 + (m - 2)}$
$=1 + \frac{m}{-m^2 + 5m - 6}$
$=1 + \frac{1}{-m - \frac{6}{m} + 5}$
∵$m + \frac{6}{m}≥2\sqrt{6}$（当且仅当$m = \sqrt{6}$时取等号）
∴$-m - \frac{6}{m} + 5≤5 - 2\sqrt{6}$
∴$\frac{1}{-m - \frac{6}{m} + 5}≥\frac{1}{5 - 2\sqrt{6}}=5 + 2\sqrt{6}$
∴原式$≥1 + 5 + 2\sqrt{6}=6 + 2\sqrt{6}$（此步骤有误，正确如下）
正确方法：
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})=1+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{ab}$
由（1）知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥4$，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}≥4 + \frac{1}{b}$
又$a = 1 - b$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{1 - b}$
$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{1 - b}+\frac{2}{b}=(\frac{1}{1 - b}+\frac{2}{b})[(1 - b) + b]$
$=1 + \frac{b}{1 - b} + 2\frac{1 - b}{b} + 2$
$=3 + \frac{b}{1 - b} + \frac{2(1 - b)}{b}$
≥$3 + 2\sqrt{\frac{b}{1 - b}×\frac{2(1 - b)}{b}}=3 + 2\sqrt{2}$
$\frac{2}{ab}≥8$（由（1）$ab≤\frac{1}{4}$）
∴$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})≥1 + 3 + 2\sqrt{2} + 8=12 + 2\sqrt{2}$（此方法仍有误，正确利用基本不等式展开）
正确展开：
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})=1+\frac{2}{b}+\frac{1}{a}+\frac{2}{ab}$
∵$a + b = 1$，$\frac{1}{a}=\frac{a + b}{a}=1 + \frac{b}{a}$，$\frac{1}{b}=\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b} + 1$
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 + \frac{b}{a}+\frac{2a}{b} + 2=3 + \frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$
≥$3 + 2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{2a}{b}}=3 + 2\sqrt{2}$
$\frac{2}{ab}≥8$
∴$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})=1 + (\frac{1}{a}+\frac{2}{b})+\frac{2}{ab}≥1 + 3 + 2\sqrt{2} + 8=12 + 2\sqrt{2}$（与答案不符，正确应为）
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})=(1+\frac{a + b}{a})(1+\frac{2(a + b)}{b})$
$=(2 + \frac{b}{a})(3 + \frac{2a}{b})$
$=6 + \frac{4a}{b} + \frac{3b}{a} + 2$
$=8 + \frac{4a}{b} + \frac{3b}{a}$
∵$\frac{4a}{b} + \frac{3b}{a}≥2\sqrt{\frac{4a}{b}×\frac{3b}{a}}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$
∴$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})≥8 + 4\sqrt{3}$

证明:(1)因为$a＞0,b＞0,a+b= 1$,所以$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}= (\frac {1}{a}+\frac {1}{b})(a+b)= 2+\frac {b}{a}+\frac {a}{b}≥2+2\sqrt {\frac {b}{a}\cdot \frac {a}{b}}= 4$,当且仅当$\frac {b}{a}= \frac {a}{b}$,即$a= b= \frac {1}{2}$时,等号成立,所以$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}≥4$.
(2)因为$a＞0,b＞0,a+b= 1$,所以$(1+\frac {1}{a})(1+\frac {2}{b})= 1+\frac {2}{b}+\frac {1}{a}+\frac {2}{ab}= 1+\frac {2}{b}+\frac {1}{a}+\frac {2(a+b)}{ab}= 1+\frac {2}{b}+\frac {1}{a}+\frac {2}{a}+\frac {2}{b}= 1+\frac {3}{a}+\frac {4}{b}= 1+(\frac {3}{a}+\frac {4}{b})(a+b)= 1+3+4+\frac {3b}{a}+\frac {4a}{b}= 8+\frac {3b}{a}+\frac {4a}{b}≥8+2\sqrt {\frac {3b}{a}\cdot \frac {4a}{b}}= 8+4\sqrt {3}$,当且仅当$\frac {3b}{a}= \frac {4a}{b}$,即$a= 2\sqrt {3}-3,b= 4-2\sqrt {3}$时,等号成立,所以$(1+\frac {1}{a})(1+\frac {2}{b})≥8+4\sqrt {3}$.
[反思归纳]利用基本不等式证明不等式时,要先观察要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则考虑对代数式进行拆项、配凑等变形,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证明不等式之间的联系,如"1"的代换,乘"1"等技巧的运用.

答案： 【解析】：本题考查基本不等式的应用。对于（1），已知$a＞0,b＞0,a + b = 1$，通过将$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$乘以$(a + b)$进行“1”的代换，展开后利用基本不等式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}$证明不等式；对于（2），同样基于已知条件，先对$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})$展开化简，再通过“1”的代换将$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$乘以$(a + b)$，展开后利用基本不等式$\frac{3b}{a}+\frac{4a}{b}≥2\sqrt{\frac{3b}{a}\cdot\frac{4a}{b}}$证明不等式。
【答案】：
证明：
(1)
∵$a＞0,b＞0,a + b = 1$
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a + b)$
$=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1$
$=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$
∵$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2$（当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a = b=\frac{1}{2}$时取等号）
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥2 + 2=4$
(2)
∵$a＞0,b＞0,a + b = 1$
∴$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})=1+\frac{2}{b}+\frac{1}{a}+\frac{2}{ab}$
$=1+\frac{2}{b}+\frac{1}{a}+\frac{2(a + b)}{ab}$
$=1+\frac{2}{b}+\frac{1}{a}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$
$=1+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$
$=1+(\frac{3}{a}+\frac{4}{b})(a + b)$
$=1+3+\frac{3b}{a}+4+\frac{4a}{b}$
$=8+\frac{3b}{a}+\frac{4a}{b}$
∵$\frac{3b}{a}+\frac{4a}{b}≥2\sqrt{\frac{3b}{a}\cdot\frac{4a}{b}}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$（当且仅当$\frac{3b}{a}=\frac{4a}{b}$，即$a = 2\sqrt{3}-3,b = 4 - 2\sqrt{3}$时取等号）
∴$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{2}{b})≥8 + 4\sqrt{3}$