《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1]已知$a,b∈R$,求证:
(1)$ab≤(\frac {a+b}{2})^{2}$;
(2)$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}≥(\frac {a+b}{2})^{2}$.

答案： 思维启迪
(1)由重要不等式将$ab向a+b$转化;
(2)由重要不等式将$a^{2}+b^{2}向a+b$转化.
证明:
(1)由$a^{2}+b^{2}≥2ab$,得$2ab≤a^{2}+b^{2}$,两边同时加上$2ab$,得$4ab≤a^{2}+b^{2}+2ab$,即$4ab≤(a+b)^{2}$,所以$ab≤\frac {(a+b)^{2}}{4}= (\frac {a+b}{2})^{2}$,即$ab≤(\frac {a+b}{2})^{2}$.
(2)由$a^{2}+b^{2}≥2ab$,两边同时加上$a^{2}+b^{2}$,得$2(a^{2}+b^{2})≥a^{2}+b^{2}+2ab$,即$2(a^{2}+b^{2})≥(a+b)^{2}$,两边同时乘以$\frac {1}{4}$,得$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}≥\frac {(a+b)^{2}}{4}$,即$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}≥(\frac {a+b}{2})^{2}$.
[反思归纳]利用重要不等式证明不等式时,要注意观察待证不等式与重要不等式的联系,从联系中发现证明思路和证明的切入点.

(1)求$y= \sqrt {x(4-2x)}(0＜x＜2)$的最大值;最大值为$\sqrt{2}$
(2)求$y= \frac {(x+5)(x+2)}{x+1}(x＞-1)$的最小值;最小值为9
(3)已知$a＞0,b＞0$,且$\frac {1}{a}+\frac {9}{b}= 1$,求$a+b$的最小值.最小值为16

答案： 思维启迪
(1)将根式下的积配凑成和为定值;
(2)先将分子配凑成分母的多项式,然后拆分,配凑成积为定值;
(3)将$a+b$进行乘"1"代换,配凑成积为定值.
解:
(1)因为$0＜x＜2$,所以$4-2x＞0$,所以$y= \sqrt {x(4-2x)}= \sqrt {\frac {1}{2}\cdot 2x\cdot (4-2x)}≤\frac {\sqrt {2}}{2}\cdot \frac {2x+4-2x}{2}= \sqrt {2}$,当且仅当$2x= 4-2x$,即$x= 1$时,等号成立,所以$y= \sqrt {x(4-2x)}的最大值为\sqrt {2}$.
(2)由$x＞-1$,得$x+1＞0$,所以$y= \frac {(x+5)(x+2)}{x+1}= \frac {[(x+1)+4][(x+1)+1]}{x+1}= \frac {(x+1)^{2}+5(x+1)+4}{x+1}= (x+1)+\frac {4}{x+1}+5≥2\sqrt {(x+1)\cdot \frac {4}{x+1}}+5= 9$,当且仅当$x+1= \frac {4}{x+1}$,即$x= 1$时,等号成立,所以$y= \frac {(x+5)(x+2)}{x+1}(x＞-1)$的最小值为9.
(3)因为$a＞0,b＞0$,且$\frac {1}{a}+\frac {9}{b}= 1$,所以$a+b= (a+b)(\frac {1}{a}+\frac {9}{b})= 1+9+\frac {b}{a}+\frac {9a}{b}≥10+2\sqrt {\frac {b}{a}\cdot \frac {9a}{b}}= 16$,当且仅当$\frac {b}{a}= \frac {9a}{b}$,即$a= 4,b= 12$时,等号成立,所以$a+b$的最小值为16.
[反思归纳]
(1)利用基本不等式求最值,必须按照"一正、二定、三相等"的原则.①一正:基本不等式成立的前提条件为$a＞0,b＞0$;②二定:化不等式的一边为定值;③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件.以上三点缺一不可.
(2)若是求和的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值.解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.