《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 3] (1) 设全集 $ U = \{ x | x $ 是小于 9 的正整数 $ \} $,集合 $ A = \{ 1, 2, 3 \} $,$ B = \{ 3, 4, 5, 6 \} $,求 $ \complement_U A $,$ \complement_U B $；
(2) 已知全集 $ U = \{ x | x \leq 5 \} $,集合 $ A = \{ x | -3 \leq x ＜ 5 \} $,求 $ \complement_U A $.

答案：
思维启迪
(1) 先用列举法表示出集合 U,再根据补集的定义求解；
(2) 在数轴上表示出全集 U 和集合 A,结合数轴,利用补集的定义求出 A 的补集.
解：
(1) 由题意可知 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} $,所以 $ \complement_U A = \{ 4, 5, 6, 7, 8 \} $,$ \complement_U B = \{ 1, 2, 7, 8 \} $.
(2) 将全集 U 和集合 A 分别表示在数轴上,如图所示.

由补集的定义可知,$ \complement_U A = \{ x | x ＜ -3 $ 或 $ x = 5 \} $.
[反思归纳] 求集合的补集的常用方法
(1) 若集合中的元素较少,可利用定义法直接求解；
(2) 若集合中的元素连续且无限,可借助数轴求解,此时需注意端点值的取舍.

[例 4] (1) 已知全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $,集合 $ A = \{ 1, 3, 4 \} $,$ B = \{ 1, 3, 5 \} $,求 $ (\complement_U A) \cup B $；
(2) 已知集合 $ A = \{ x | -6 \leq x \leq -2 \} $,$ B = \{ x | 2x + 6 \geq 0 \} $,求 $ \complement_{\mathbf{R}} (A \cap B) $.

答案：
思维启迪
(1) 利用补集的定义求集合 A 的补集,再由并集的定义求 A 的补集与集合 B 的并集；
(2) 利用数轴,结合交集的定义求出 $ A \cap B $,再由补集的定义求 $ A \cap B $ 的补集.
解：
(1) 因为全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $,集合 $ A = \{ 1, 3, 4 \} $,所以 $ \complement_U A = \{ 2, 5, 6 \} $.
又因为 $ B = \{ 1, 3, 5 \} $,所以 $ (\complement_U A) \cup B = \{ 1, 2, 3, 5, 6 \} $.
(2) 由题意得 $ A = \{ x | -6 \leq x \leq -2 \} $,$ B = \{ x | 2x + 6 \geq 0 \} = \{ x | x \geq -3 \} $,将集合 A,B 分别表示在数轴上,如图所示.

由交集的定义得 $ A \cap B = \{ x | -3 \leq x \leq -2 \} $,所以由补集的定义得 $ \complement_{\mathbf{R}} (A \cap B) = \{ x | x ＜ -3 $ 或 $ x ＞ -2 \} $.
[反思归纳]
(1) 并集、交集、补集的综合运算,按照“先括号内后括号外”的顺序依次运算；
(2) 对于不连续的数集,用定义法求解；对于连续的数集,用数轴法求解(但要注意端点值的取舍).