《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 1] (1) 设集合 $ A = \{ 4, 5, 6, 8 \} $,$ B = \{ 3, 5, 7, 8 \} $,求 $ A \cup B $；
(2) 设集合 $ A = \{ x | -1 ＜ x ＜ 2 \} $,$ B = \{ x | 1 ＜ x ＜ 3 \} $,求 $ A \cup B $.

答案：
思维启迪
(1) 求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次. 如 5,8；
(2) 在数轴上表示出集合 A 与 B,利用并集的定义,求 $ A \cup B $.
解：
(1) 因为 $ A = \{ 4, 5, 6, 8 \} $,$ B = \{ 3, 5, 7, 8 \} $,所以 $ A \cup B = \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} $.
(2) 因为集合 $ A = \{ x | -1 ＜ x ＜ 2 \} $,集合 $ B = \{ x | 1 ＜ x ＜ 3 \} $,在数轴上表示出集合 A 与 B,如图所示.

由图可得 $ A \cup B = \{ x | -1 ＜ x ＜ 3 \} $.
[反思归纳]
(1) 求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性,重复的元素只能算一个；
(2) 对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数形结合求解,但要注意端点值能否取到.

[例 2] (1) 已知集合 $ A = \{ x | 2 \leq x + 1 ＜ 5 \} $,$ B = \{ x \in \mathbf{N} | x \leq 2 \} $,求 $ A \cap B $；
(2) 已知集合 $ A = \{ x | -4 \leq x \leq -2 \} $,$ B = \{ x | 2x + 7 \geq 0 \} $,求 $ A \cap B $；
(3) 已知集合 $ A = \{ (x, y) | y = x^3 \} $,$ B = \{ (x, y) | y = x^2 \} $,求 $ A \cap B $.
思维启迪 (1) 先化简集合 A,B,再求 $ A \cap B $；(2) 先化简集合 B,然后在数轴上表示出集合 A,B,最后根据交集的定义,结合数轴,求出 $ A \cap B $；(3) 先解由集合 A,B 中的方程组成的方程组,再根据交集的定义求出 $ A \cap B $.
解：(1) 因为 $ A = \{ x | 2 \leq x + 1 ＜ 5 \} = \{ x | 1 \leq x ＜ 4 \} $,$ B = \{ x \in \mathbf{N} | x \leq 2 \} = \{ 0, 1, 2 \} $,所以 $ A \cap B = \{ x | 1 \leq x ＜ 4 \} \cap \{ 0, 1, 2 \} = \{ 1, 2 \} $.
(2) 因为 $ A = \{ x | -4 \leq x \leq -2 \} $,$ B = \{ x | 2x + 7 \geq 0 \} = \{ x | x \geq -\frac{7}{2} \} $,在数轴上表示出集合 A,B,如图所示.

由图可得 $ A \cap B = \{ x | -\frac{7}{2} \leq x \leq -2 \} $.
(3) 由 $ \begin{cases} y = x^3 \\ y = x^2 \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} $,所以 $ A \cap B = \{ (0, 0), (1, 1) \} $.
[反思归纳] (1) 求两个集合的交集时,应先将两个集合化至最简形式,再求交集；(2) 若两个集合是无限数集,则可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含端点的值用实心点表示,不含端点的值用空心圈表示；(3) 若两个集合的元素是有序实数对,则其交集是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集.

答案：
(1) 解：因为$A = \{ x | 2 \leq x + 1 ＜ 5 \} = \{ x | 1 \leq x ＜ 4 \}$，$B = \{ x \in \mathbf{N} | x \leq 2 \} = \{ 0, 1, 2 \}$，所以$A \cap B = \{ 1, 2 \}$。
(2) 解：因为$A = \{ x | -4 \leq x \leq -2 \}$，$B = \{ x | 2x + 7 \geq 0 \} = \{ x | x \geq -\frac{7}{2} \}$，在数轴上表示集合$A$，$B$（如题目所给数轴），由图可得$A \cap B = \{ x | -\frac{7}{2} \leq x \leq -2 \}$。
(3) 解：由$\begin{cases} y = x^3 \\ y = x^2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$，所以$A \cap B = \{ (0, 0), (1, 1) \}$。