《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3] 写出下列全称量词命题的否定：
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；
(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3) $\forall x\in Z$,$x^2$的个位数字不等于3。

答案： 思维启迪
(1) 把全称量词“所有”进行否定,同时把“都是”进行否定；
(2) 把全称量词“每一个”进行否定,同时把“在”进行否定；
(3) 把全称量词“$\forall$”进行否定,同时把“不等于”进行否定。
解：
(1) 该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数。
(2) 该命题的否定：存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上。
(3) 该命题的否定：$\exists x\in Z$,$x^2$的个位数字等于3。
[反思归纳]
(1) 对全称量词命题进行否定的两步操作：第一步,找到命题所含的全称量词,没有量词的要结合命题的含义加上全称量词,再将全称量词改为存在量词；第二步,对原命题的结论进行否定。
(2) 牢记“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”。

[例4] 写出下列存在量词命题的否定：
(1) $\exists x\in R$,$x^2 + 2 ＞ 0$；
(2) 有的四边形是正方形；
(3) 有一个奇数是素数。

答案： 思维启迪
(1) 把存在量词“$\exists$”进行否定,同时把“$＞$”进行否定；
(2) 把存在量词“有的”进行否定,同时把“是”进行否定；
(3) 把存在量词“有一个”进行否定,同时把“是”进行否定。
解：
(1) 该命题的否定：$\forall x\in R$,$x^2 + 2\leq 0$。
(2) 该命题的否定：所有的四边形都不是正方形。
(3) 该命题的否定：任意一个奇数都不是素数。
[反思归纳]
(1) 存在量词命题的否定,是在否定结论$p(x)$的同时,改变量词的属性,即将存在量词改为全称量词。
(2) 牢记“存在量词命题的”否定是“全称量词命题”。

1. (对应题型一) 判断下列全称量词命题的真假：
(1) $\forall x\in R$,$|x + 1| ＞ 1$；
(2) 末位是零的整数,可以被5整除；
(3) 对任意实数$m$,方程$x^2 - mx + 1 = 0$有实根。

答案： 【解析】：本题考查全称量词命题的真假判断。全称量词命题“$\forall x\in M$，$p(x)$”为真，需要对集合$M$中的每一个元素$x$，$p(x)$都成立；若存在一个元素$x_0\in M$，使得$p(x_0)$不成立，则该命题为假。
(1) 当$x=0$时，$|0 + 1| = 1$，不满足$|x + 1| ＞ 1$，所以该命题为假。
(2) 末位是零的整数一定是10的倍数，而10是5的倍数，所以末位是零的整数可以被5整除，该命题为真。
(3) 方程$x^2 - mx + 1 = 0$的判别式为$\Delta = m^2 - 4$，当$m=0$时，$\Delta = -4 ＜ 0$，方程无实根，所以该命题为假。
【答案】：
(1) 假；
(2) 真；
(3) 假

2. (对应题型二) 判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有的集合中不含任何元素；
(2) 存在对角线不互相垂直的菱形；
(3) 有些整数只有两个正因数。

答案： 【解析】：本题考查存在量词命题的真假判断。存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”为真，只需在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可；若在集合M中找不到这样的元素，则命题为假。
(1) 空集是不含任何元素的集合，所以“有的集合中不含任何元素”是真命题；
(2) 菱形的对角线互相垂直是菱形的性质，所有菱形的对角线都互相垂直，所以“存在对角线不互相垂直的菱形”是假命题；
(3) 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，质数只有两个正因数，如2是整数且只有1和2两个正因数，所以“有些整数只有两个正因数”是真命题。
【答案】：
(1) 真命题；
(2) 假命题；
(3) 真命题。