《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 判断下列全称量词命题的真假：
(1) 所有的合数都是偶数；
(2) $\forall x\in R$,$x^2 + 1\geq 1$；
(3) 对任意一个无理数$x$,$x^2$是有理数。

答案：
思维启迪 要判定全称量词命题“$\forall x\in M$,$p(x)$”是真命题,需要对集合$M中每个元素x$,证明$p(x)$成立；如果集合$M中找到一个元素x_0$,使得$p(x_0)$不成立,那么这个全称量词命题就是假命题。
解：
(1) 21是合数,但21不是偶数,所以全称量词命题“所有的合数都是偶数”是假命题。
(2) $\forall x\in R$,总有$x^2\geq 0$,因而$x^2 + 1\geq 1$,所以全称量词命题“$\forall x\in R$,$x^2 + 1\geq 1$”是真命题。
(3) $\sqrt[3]{2}$是无理数,但$(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$是无理数,所以全称量词命题“对任意一个无理数$x$,$x^2$是有理数”是假命题。
[反思归纳] 全称量词命题的真假判断：

[例2] 判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有一个实数$x$,使得$x^2 + 2x + 3 = 0$；
(2) 有些平行四边形是菱形。

答案：
思维启迪 要判定存在量词命题“$\exists x\in M$,$p(x)$”是真命题,只需在集合$M中找到一个元素x$,使得$p(x)$成立即可；如果在集合$M$中,使得$p(x)成立的元素x$不存在,那么这个存在量词命题就是假命题。
解：
(1) 由于$\Delta = 2^2 - 4× 3 = -8 ＜ 0$,因此一元二次方程$x^2 + 2x + 3 = 0$无实根,所以存在量词命题“有一个实数$x$,使得$x^2 + 2x + 3 = 0$”是假命题。
(2) 由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。
[反思归纳] 存在量词命题的真假判断：