《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. (对应题型一)如图,圆$O上一点C在直径AB上的射影为D$,$AD = 2$,$DB = 8$,求$CD$,$AC和BC$的长。

答案： 1. 解：因为$\angle ACB$是半圆上的圆周角,所以$\angle ACB = 90^{\circ}$,即$\triangle ACB$为直角三角形。由射影定理得$CD^{2}= AD\cdot DB = 2× 8 = 16$,则$CD = 4$,$AC^{2}= AD\cdot AB = 2× 10 = 20$,则$AC = 2\sqrt{5}$,$BC^{2}= BD\cdot AB = 8× 10 = 80$,则$BC = 4\sqrt{5}$。

2. (对应题型二)如图,在$\triangle ABC$中,$AD是\angle BAC$的平分线,$AB = 5$,$AC = 4$,$BC = 7$,求$BD$。

答案： 2. 解：因为$AB = 5$,$AC = 4$,所以由角平分线定理得$\frac{AB}{AC}= \frac{BD}{DC}$,即$\frac{5}{4}= \frac{BD}{DC}$,所以可设$BD = 5k$,$DC = 4k$,则$BC = BD + DC = 5k + 4k = 9k$。又$BC = 7$,所以$k= \frac{7}{9}$,则$BD= \frac{35}{9}$。

3. (对应题型三)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$BC = 12$,$AC = 13$,且$G$为重心,$O$为外心,求$OG$。

答案： 3. 解：因为$AB = 5$,$AC = 13$,$BC = 12$,所以$AB^{2}+BC^{2}= AC^{2}$,所以$\triangle ABC$为直角三角形,且$AC$为斜边。又因为$O$为外心,所以$OB是\triangle ABC$外接圆的半径,且$OB= \frac{1}{2}AC= \frac{13}{2}$。又因为$G$为重心,所以$OG= \frac{1}{3}OB= \frac{13}{6}$。