《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3] 判断下面各命题的真假,并说明理由。
(1)如果$\frac{a}{c^2} ＞ \frac{b}{c^2}$,那么$a ＞ b$；
(2)如果$a ＞ b且ab ＜ 0$,那么$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$；
(3)如果$\sqrt[n]{a} ＞ \sqrt[n]{b}$($n$为正整数),那么$a ＞ b$；
(4)如果$|a| ＜ b$,那么$-b ＜ a ＜ b$。

答案： 思维启迪 命题
(1)和命题
(2)：根据条件,利用不等式的乘法法则,即可判断命题真假；命题
(3)：根据条件,利用不等式的乘方法则,即可判断命题真假；命题
(4)：利用绝对值不等式的意义,去绝对值,即可判断命题真假。
解：
(1)真命题。因

为

$\frac{a}{c^2} ＞ \frac{b}{c^2}$,$c^2 ＞ 0$,所以$\frac{a}{c^2} \cdot c^2 ＞ \frac{b}{c^2} \cdot c^2$,即$a ＞ b$。
(2)假命题。因为$a ＞ b且ab ＜ 0$,所以$\frac{1}{ab} ＜ 0$,所以$a \cdot \frac{1}{ab} ＜ b \cdot \frac{1}{ab}$,即$\frac{1}{b} ＜ \frac{1}{a}$,所以
(2)是假命题。
(3)真命题。因为$\sqrt[n]{a} ＞ \sqrt[n]{b}$($n$为正整数),所以$(\sqrt[n]{a})^n ＞ (\sqrt[n]{b})^n$,即$a ＞ b$。
(4)真命题。因为$|a| ＜ b$,当$a ＞ 0$时,$a ＜ b$；当$a \leq 0$时,$-a ＜ b$,即$a ＞ -b$,所以$-b ＜ a ＜ b$。
[反思归纳] 判断与不等式有关命题的真假性的常用方法
(1)用不等式性质逐个推理判断,注意前提条件；
(2)用特殊值法进行排除,取特殊值时,一定要满足题设条件。

[例4] 已知$-1 ＜ x ＜ 2$,$0 ＜ y ＜ 6$,求$2x - y$的取值范围。

答案： 思维启迪 先求$2x$的范围,再求$-y$的范围,最后求$2x - y = 2x + (-y)$的范围。
解：因为$-1 ＜ x ＜ 2$,所以$-2 ＜ 2x ＜ 4$。
又因为$0 ＜ y ＜ 6$,所以$-6 ＜ -y ＜ 0$,
所以$-8 ＜ 2x - y ＜ 4$。
[反思归纳] 求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要注意题设中的条件,二是正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除。

1.(对应题型一)(1)已知$a ＞ b ＞ 0$,试比较$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}与\frac{a + b}{a - b}$的大小；
(2)已知$x ＜ 1$,比较$x^3 - 1与2x^2 - 2x$的大小。

答案： 【解析】：
(1) 本题考查利用作差法比较两个分式的大小。因为$a＞b＞0$，所以先对两个分式作差，通分后化简，再根据已知条件判断差的正负，从而得出大小关系。
(2) 本题考查利用作差法比较两个多项式的大小。先对两个多项式作差，通过因式分解将差式变形，再结合$x＜1$判断各因式的正负，进而确定差的正负，得出大小关系。
【答案】：
(1) 解：$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{a + b}{a - b}$
$\begin{aligned}&=\frac{a^2 + b^2}{(a + b)(a - b)} - \frac{(a + b)^2}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{-2ab}{(a + b)(a - b)}\end{aligned}$
因为$a＞b＞0$，所以$a + b＞0$，$a - b＞0$，$ab＞0$，则$\frac{-2ab}{(a + b)(a - b)}＜0$，所以$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}＜\frac{a + b}{a - b}$。
(2) 解：$x^3 - 1 - (2x^2 - 2x)$
$\begin{aligned}&=x^3 - 2x^2 + 2x - 1\\&=(x^3 - x^2) - (x^2 - 2x + 1)\\&=x^2(x - 1) - (x - 1)^2\\&=(x - 1)(x^2 - x + 1)\end{aligned}$
因为$x＜1$，所以$x - 1＜0$。又$x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}＞0$，所以$(x - 1)(x^2 - x + 1)＜0$，即$x^3 - 1＜2x^2 - 2x$。