《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. (对应题型一) 解下列不等式：
(1)$x^{2}-5x-6＞0$；
(2)$(2-x)(x+3)＞0$；
(3)$4(2x^{2}-2x+1)＞x(4-x)$。

答案： 【解析】：本题考查九年级数学中一元二次不等式的解法，需结合二次函数与一元二次方程的关系，通过因式分解或化为一般式确定二次函数开口方向及与x轴交点，进而求解不等式。
【答案】：
(1)解：$x^{2}-5x-6＞0$
因式分解得$(x - 6)(x + 1)＞0$
则有$\begin{cases}x - 6＞0 \\ x + 1＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 6＜0 \\ x + 1＜0\end{cases}$
解得$x＞6$或$x＜ - 1$
(2)解：$(2 - x)(x + 3)＞0$
变形为$(x - 2)(x + 3)＜0$
则有$\begin{cases}x - 2＞0 \\ x + 3＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 2＜0 \\ x + 3＞0\end{cases}$
第一个不等式组无解，第二个不等式组解得$- 3＜x＜2$
(3)解：$4(2x^{2}-2x + 1)＞x(4 - x)$
展开得$8x^{2}-8x + 4＞4x - x^{2}$
移项合并同类项得$9x^{2}-12x + 4＞0$
因式分解得$(3x - 2)^{2}＞0$
解得$x≠\frac{2}{3}$

2. (对应题型二) 若关于$x的不等式ax^{2}+4ax-3＜0对任意x\in\mathbf{R}$都成立,求实数$a$的取值范围。

答案： 【解析】：本题考查含参数的一元二次不等式恒成立问题。当$a = 0$时，不等式化为$-3 ＜ 0$，恒成立；当$a \neq 0$时，不等式为一元二次不等式，要对任意$x\in\mathbf{R}$都成立，需满足二次函数$y = ax^{2}+4ax - 3$的图像开口向下且与$x$轴无交点，即$a ＜ 0$且判别式$\Delta ＜ 0$。计算判别式$\Delta=(4a)^{2}-4× a×(-3)=16a^{2}+12a$，由$\Delta ＜ 0$得$16a^{2}+12a ＜ 0$，因式分解为$4a(4a + 3) ＜ 0$，解得$-\frac{3}{4} ＜ a ＜ 0$。综上，$a$的取值范围是$-\frac{3}{4} ＜ a \leq 0$。
【答案】：$-\frac{3}{4} ＜ a \leq 0$

3. (对应题型三) 已知不等式$x^{2}+bx+c＞0的解集为\{x|x＜1或x＞2\}$,求：
(1)$b和c$的值；
(2) 不等式$cx^{2}+bx+1\leqslant0$的解集。

答案： 【解析】：本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的关系。
（1）因为不等式$x^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x|x＜1 或 x＞2\}$，所以一元二次方程$x^{2}+bx+c = 0$的两个根为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -b$，两根之积$x_1x_2 = c$，可得$1 + 2 = -b$，$1×2 = c$，解得$b = -3$，$c = 2$。
（2）由（1）知$b = -3$，$c = 2$，则不等式$cx^{2}+bx + 1\leqslant0$为$2x^{2}-3x + 1\leqslant0$。令$2x^{2}-3x + 1 = 0$，因式分解得$(2x - 1)(x - 1)=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。因为二次项系数$2＞0$，抛物线开口向上，所以不等式的解集为$\{x|\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant1\}$。
【答案】：（1）$b=-3$，$c=2$；
（2）$\{x|\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant1\}$

4. (对应题型四) 国家收购某种农副产品的价格是8000元/吨,其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点,即8%),计划收购$m$万吨,决定税率降低$x(0＜x＜8)$个百分点,预计收购量可增加$2x$个百分点,要使得此项税收在税率降低后不低于原计划的78%,试确定$x$的取值范围。

答案： 4. 解：原来的税收为$8000×m×8\%$万元,降低税率后的税收为$8000×m×(1+2x\%)×(8\%-x\%)$万元,则$8000×m×(1+2x\%)×(8\%-x\%)\geqslant8000×m×8\%×78\%$,化简得$x^{2}+42x-88\leqslant0$。方程$x^{2}+42x-88= 0的根为x_{1}= -44$,$x_{2}= 2$,所以$x^{2}+42x-88\leqslant0的解为-44\leqslant x\leqslant2$,所以$x的取值范围是\{x|0＜x\leqslant2\}$。