《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 1] 作出二次函数 $ f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $ 的图象,并根据图象解答下列问题.
(1)比较 $ f ( 0 ) $,$ f ( 1 ) $,$ f ( 3 ) $ 的大小；
(2)若 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ 1 $,比较 $ f ( x _ { 1 } ) $ 与 $ f ( x _ { 2 } ) $ 的大小；
(3)求函数 $ f ( x ) $ 的值域.
思维启迪 作出二次函数 $ f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $ 的图象,数形结合求解.
解：(1)因为 $ f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $,
所以 $ f ( 0 ) = 3 $,$ f ( 1 ) = 4 $,$ f ( 3 ) = 0 $,
所以 $ f ( 1 ) ＞ f ( 0 ) ＞ f ( 3 ) $.
(2)$ f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4 $ 的图象如图所示.

由图象可以看出,当 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } ＜ 1 $ 时,函数 $ f ( x ) $ 的值随着 $ x $ 的增大而增大,
所以 $ f ( x _ { 1 } ) ＜ f ( x _ { 2 } ) $.
(3)由图象可以看出,函数 $ f ( x ) $ 的值域为 $ ( - \infty, 4 ] $.
[反思归纳](1)若给出的二次函数的形式是一般式,可将一般式进行配方,化为顶点式,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使得画图更简便、图象更精准；(2)根据图象的直观性求解各种问题,体现了“数形结合”思想的应用.

答案： 【解析】：本题考查二次函数的图象与性质。首先将二次函数化为顶点式，确定顶点坐标、对称轴等关键信息，然后作出函数图象，再根据图象解决比较函数值大小、判断函数单调性及求函数值域等问题。
1. 对于比较$f(0)$，$f(1)$，$f(3)$的大小，可直接代入函数解析式计算出各函数值，再进行比较。
2. 比较当$x_1＜x_2＜1$时$f(x_1)$与$f(x_2)$的大小，需根据二次函数的单调性，由函数图象开口方向和对称轴判断在给定区间上的增减性。
3. 求函数的值域，结合二次函数的顶点式及开口方向确定最大值，进而得出值域。
【答案】：
解：作出二次函数$f(x) = -x^2 + 2x + 3$的图象，图略。
(1) 因为$f(x) = -x^2 + 2x + 3$，
所以$f(0) = -0^2 + 2×0 + 3 = 3$，
$f(1) = -1^2 + 2×1 + 3 = 4$，
$f(3) = -3^2 + 2×3 + 3 = 0$，
所以$f(1)＞f(0)＞f(3)$。
(2) $f(x) = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$，
其图象开口向下，对称轴为直线$x = 1$，
由图象可知，当$x＜1$时，函数$f(x)$的值随着$x$的增大而增大，
因为$x_1＜x_2＜1$，
所以$f(x_1)＜f(x_2)$。
(3) 由$f(x) = -(x - 1)^2 + 4$可知，函数图象开口向下，顶点坐标为$(1, 4)$，
所以函数$f(x)$的最大值为$4$，
则函数$f(x)$的值域为$(-\infty, 4]$。