《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

4. (对应题型四) 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数,在区间 $ (-\infty, 0) $ 上单调递减,且 $ f(2a^2 + a + 1) ＜ f(2a^2 - 2a + 3) $,求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 【解析】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用。因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$f(x)=f(-x)$，其图像关于$y$轴对称。又已知$f(x)$在区间$(-\infty, 0)$上单调递减，根据偶函数的性质，可知$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上单调递增。
对于$f(2a^2 + a + 1) ＜ f(2a^2 - 2a + 3)$，由于$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，所以需要比较$2a^2 + a + 1$与$2a^2 - 2a + 3$的大小。先判断这两个式子的正负性，因为二次函数$y = 2a^2 + a + 1$的判别式$\Delta = 1^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，且二次项系数$2 ＞ 0$，所以$2a^2 + a + 1 ＞ 0$恒成立；同理，$2a^2 - 2a + 3$的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×2×3 = 4 - 24 = -20 ＜ 0$，二次项系数$2 ＞ 0$，所以$2a^2 - 2a + 3 ＞ 0$恒成立。因此，可直接利用单调性得$2a^2 + a + 1 ＜ 2a^2 - 2a + 3$，解这个不等式即可求出$a$的取值范围。
【答案】：解：因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(-\infty, 0)$上单调递减，所以$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。
又因为$2a^2 + a + 1$和$2a^2 - 2a + 3$的判别式均小于$0$，且二次项系数为正，所以$2a^2 + a + 1 ＞ 0$，$2a^2 - 2a + 3 ＞ 0$恒成立。
由$f(2a^2 + a + 1) ＜ f(2a^2 - 2a + 3)$及单调性可得：
$2a^2 + a + 1 ＜ 2a^2 - 2a + 3$
移项得：$a + 1 ＜ -2a + 3$
$a + 2a ＜ 3 - 1$
$3a ＜ 2$
解得：$a ＜ \frac{2}{3}$
故实数$a$的取值范围是$a ＜ \frac{2}{3}$。