《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] (1) 给出下列函数：①$y = x^{3}$；②$y = x^{2}+2x$；③$y = 4x^{2}$；④$y = x^{5}+1$；⑤$y = (x - 1)^{2}$；⑥$y = x$；⑦$y = x^{-2}$。其中幂函数的个数为(C)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(2) 已知幂函数$y = x^{\alpha}$的图象经过点(2,4),则$f(4)= $16。

答案： 【解析】：
(1) 幂函数的定义为形如$y = x^{\alpha}$（$\alpha$为常数）的函数，其结构特征是自变量$x$在底数位置，指数为常数且系数为1。
①$y = x^{3}$，符合幂函数形式，$\alpha = 3$，是幂函数。
②$y = x^{2}+2x$，含有两项，不符合幂函数单一$x^{\alpha}$的结构，不是幂函数。
③$y = 4x^{2}$，系数为4不为1，不是幂函数。
④$y = x^{5}+1$，含有常数项，不是幂函数。
⑤$y = (x - 1)^{2}$，底数是$x - 1$不是$x$，不是幂函数。
⑥$y = x$，即$y = x^{1}$，符合幂函数形式，$\alpha = 1$，是幂函数。
⑦$y = x^{-2}$，符合幂函数形式，$\alpha = - 2$，是幂函数。
综上，①⑥⑦是幂函数，共3个，选C。
(2) 已知幂函数$y = x^{\alpha}$的图象经过点$(2,4)$，将点代入函数可得$2^{\alpha}=4$，因为$4 = 2^{2}$，所以$\alpha = 2$，则函数为$y = x^{2}$，所以$f(4)=4^{2}=16$。
【答案】：
(1) C
(2) 16

[例2] 图中$C_{1}$,$C_{2}$,$C_{3}为三个幂函数y = x^{\alpha}$在第一象限内的图象,则解析式中指数$\alpha$的值依次可以是(D)

A.$\frac{1}{2}$,3,$-1$
B.$-1$,3,$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$,$-1$,3
D.$-1$,$\frac{1}{2}$,3
解：由幂函数$y = x^{\alpha}$在第一象限内的图象,结合幂函数的性质,可得图中$C_{1}对应的\alpha\lt0$,$C_{2}对应的0\lt\alpha\lt1$,$C_{3}对应的\alpha\gt1$,结合选项知,指数$\alpha的值依次可以是-1$,$\frac{1}{2}$,3,故选D。
[反思归纳] 解决幂函数图象问题应把握两个原则：(1) 依据图象高低判断幂指数大小,在$(0,1)$上,指数越大,幂函数图象越靠近$x$轴(简记为指大图低),在$(1,+\infty)$上,指数越大,幂函数图象越远离$x$轴(简记为指大图高)。(2) 依据图象确定指数$\alpha$与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于$y = x^{-1}或y = x^{\frac{1}{2}}或y = x^{3}$等)来判断。

答案： 解：由幂函数$y=x^{\alpha}$在第一象限内的图象及性质可知，$C_1$对应的$\alpha\lt0$，$C_2$对应的$0\lt\alpha\lt1$，$C_3$对应的$\alpha\gt1$。结合选项，指数$\alpha$的值依次可以是$-1$，$\frac{1}{2}$，$3$，故选D。