《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

(1) 二次项系数为1,一次项系数为-3,可把常数项-4分解成 $(-4)×1$；
(2) 二次项系数为1,一次项系数为2,可把常数项-15分解成 $(-3)×5$。

答案：
解：

(1) $x^{2}-3x-4= (x - 4)(x + 1)$。


(2) $x^{2}+2x-15= (x + 5)(x - 3)$。

[反思归纳] 对于二次项系数为1的二次三项式,使用十字相乘法时,重点考虑常数项的拆分与一次项系数的关系,当常数项为负数,要根据一次项系数对常数项的分解进行正负号的调节。

[例3] 将下列各式因式分解：
(1) $2x^{2}-5x+2$；
(2) $-12a^{2}+17a-6$。

答案： 【解析】：本题考查九年级数学中利用十字相乘法进行因式分解。对于（1）式$2x^{2}-5x + 2$，需要找到两个数，它们的乘积等于二次项系数$2$与常数项$2$的乘积$4$，且它们的和等于一次项系数$-5$，这两个数为$-1$和$-4$，然后通过拆项、分组进行因式分解；对于（2）式$-12a^{2}+17a - 6$，先提出负号变为$-(12a^{2}-17a + 6)$，再对括号内的式子用十字相乘法，找到两个数乘积为$12×6 = 72$，和为$-17$，即$-8$和$-9$，进而完成因式分解。
【答案】：
（1）解：原式$=2x^{2}-x - 4x + 2$
$=x(2x - 1)-2(2x - 1)$
$=(2x - 1)(x - 2)$
（2）解：原式$=-(12a^{2}-17a + 6)$
$=-(12a^{2}-8a - 9a + 6)$
$=-(4a(3a - 2)-3(3a - 2))$
$=-(3a - 2)(4a - 3)$
$=(2 - 3a)(4a - 3)$

(1) 把 $x^{2}$ 的系数2写成 $1×2$,$x$ 的系数为-5,因此把常数项2分解为 $(-2)×(-1)$；(2) 先把 $-12a^{2}+17a-6$ 提取-1,将二次项系数由负值变为正值,即 $-12a^{2}+17a-6= -(12a^{2}-17a+6)$,然后再对 $12a^{2}-17a+6$ 用十字相乘法因式分解。

答案：
解：
(1) 

[反思归纳] 二次项系数不为1时,需要同时分解二次项系数与常数项,因此,心算尝试的次数会增加。若一次不行,换成另外两个数的积,或者交换一下因数的位置、交换一下两个因数的符号,直到尝试成功。

[例4] 将下列各式因式分解：
(1) $x^{2}-xy-6y^{2}$；
(2) $5x^{2}+6xy-8y^{2}$。

答案： 【解析】：本题考查的是九年级数学中利用十字相乘法进行因式分解。对于形如二次三项式$ax^2 + bxy + cy^2$（$a$、$b$、$c$为常数）的因式分解，十字相乘法的思路是将二次项系数$a$分解成两个因数$m$、$n$的积，将常数项$c$分解成两个因数$p$、$q$的积，使得$mp + nq = b$，则原式可分解为$(mx + py)(nx + qy)$。
(1) 对于$x^{2}-xy - 6y^{2}$，二次项系数为$1$，可分解为$1×1$；常数项为$-6y^2$，需要找到两个数，它们的乘积为$-6$，且它们的和为一次项系数$-1$（这里是关于$x$的一次项系数，将$y$看作常数）。经过分析，$-3$和$2$满足条件，因为$-3×2=-6$，且$-3 + 2=-1$。
(2) 对于$5x^{2}+6xy - 8y^{2}$，二次项系数为$5$，可分解为$5×1$；常数项为$-8y^2$，需要找到两个数，使得$5×q + 1×p = 6$（这里$p$和$q$是分解$-8$得到的两个因数）。经过尝试，$p = -4$，$q = 2$时，$5×2 + 1×(-4)=10 - 4 = 6$，满足条件。
【答案】：
(1) 解：原式$=(x - 3y)(x + 2y)$
(2) 解：原式$=(5x - 4y)(x + 2y)$

(1) 把 $x^{2}-xy-6y^{2}$ 看成关于 $x$ 的二次三项式,一次项系数是 $-y$,常数项为 $-6y^{2}$,把 $-6y^{2}$ 分解成 $-3y$ 与 $2y$ 的积,而 $-3y + 2y= -y$,恰好是一次项系数；(2) 把 $x^{2}$ 的系数5分解成1与5的积,$-8y^{2}$ 写成 $2y$ 与 $-4y$ 的积,分别写成两列。
解：
(1) $x^{2}-xy-6y^{2}= (x - 3y)(x + 2y)$。

(2) $5x^{2}+6xy-8y^{2}= (x + 2y)(5x - 4y)$。

[反思归纳] 用十字相乘法分解二元二次多项式时,只需将它看成二次三项式即可解答。

答案： 【解析】：题目考查用十字相乘法分解二元二次多项式。对于（1），将$x^{2}-xy - 6y^{2}$看作关于$x$的二次三项式，二次项系数为1，常数项为$-6y^{2}$，需找到两个数（这里是$-3y$和$2y$），它们的积为常数项，和为一次项系数$-y$，从而分解因式；对于（2），$5x^{2}+6xy - 8y^{2}$中$x^{2}$系数为5，分解为1和5，常数项$-8y^{2}$分解为$2y$和$-4y$，交叉相乘再相加得一次项系数$6xy$，进而分解因式。
【答案】：
(1)$(x - 3y)(x + 2y)$；
(2)$(x + 2y)(5x - 4y)$