《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

4.(对应题型四)已知函数 $ y = x ^ { 2 } - ( a + 2 ) x + 4 $($ a \in \mathbf { R } $).
(1)若对任意的 $ 1 \leq x \leq 4 $,$ y + a + 1 \geq 0 $ 恒成立,求实数 $ a $ 的取值范围；
(2)若对任意的 $ - 1 \leq a \leq 1 $,$ y ＞ ( 2 - 2 a ) x + 2 a $ 恒成立,求 $ x $ 的取值范围.

答案： 【解析】：
(1)题目要求对任意的$1 \leq x \leq 4$，$y + a + 1 \geq 0$恒成立。首先将$y = x^2 - (a + 2)x + 4$代入不等式，得到$x^2 - (a + 2)x + 4 + a + 1 \geq 0$，化简为$x^2 - 2x + 5 \geq a(x - 1)$。接下来分情况讨论：当$x = 1$时，不等式左边为$1 - 2 + 5 = 4$，右边为$a(0) = 0$，$4 \geq 0$恒成立，此时$a$取任意实数；当$1 ＜ x \leq 4$时，$x - 1 ＞ 0$，不等式可变形为$a \leq \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}$，设$t = x - 1$，则$t \in (0, 3]$，$x = t + 1$，代入可得$\frac{(t + 1)^2 - 2(t + 1) + 5}{t} = \frac{t^2 + 2t + 1 - 2t - 2 + 5}{t} = \frac{t^2 + 4}{t} = t + \frac{4}{t}$，根据基本不等式，$t + \frac{4}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} = 4$，当且仅当$t = 2$即$x = 3$时取等号，所以$a \leq 4$；当$x ＜ 1$时，题目中$x$的范围是$1 \leq x \leq 4$，此情况不考虑。综上，$a$的取值范围是$a \leq 4$。
(2)题目要求对任意的$-1 \leq a \leq 1$，$y ＞ (2 - 2a)x + 2a$恒成立。将$y$代入不等式，得到$x^2 - (a + 2)x + 4 ＞ (2 - 2a)x + 2a$，整理为关于$a$的不等式：$x^2 - ax - 2x + 4 - 2x + 2ax - 2a ＞ 0$，即$a(x - 2) + x^2 - 4x + 4 ＞ 0$，设$f(a) = (x - 2)a + (x - 2)^2$，这是关于$a$的一次函数。因为对任意$-1 \leq a \leq 1$恒成立，所以当$x - 2 ＞ 0$即$x ＞ 2$时，$f(a)$在$a = -1$时取得最小值，$f(-1) = (x - 2)(-1) + (x - 2)^2 = (x - 2)(x - 3) ＞ 0$，解得$x ＞ 3$；当$x - 2 = 0$即$x = 2$时，$f(a) = 0 + 0 = 0$，不满足$0 ＞ 0$，舍去；当$x - 2 ＜ 0$即$x ＜ 2$时，$f(a)$在$a = 1$时取得最小值，$f(1) = (x - 2)(1) + (x - 2)^2 = (x - 2)(x - 1) ＞ 0$，解得$x ＜ 1$。综上，$x$的取值范围是$x ＜ 1$或$x ＞ 3$。
【答案】：
(1)$a \leq 4$；
(2)$x ＜ 1$或$x ＞ 3$