《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. 已知集合 $ A = \{ x | 0, m, m ^ { 2 } - 3 m + 2 \} $,且 $ 2 \in A $,则实数 $ m = $(B)
A.2
B.3
C.0
D.-2

答案： 【解析】：本题考查集合的基本概念，主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合的关系。已知集合$A = \{ x | 0, m, m^2 - 3m + 2 \}$，且$2 \in A$，所以需要分情况讨论$m$的值，同时要保证集合中元素的互异性。
首先，因为$2$是集合$A$中的元素，所以$m$可能等于$2$，或者$m^2 - 3m + 2$等于$2$。
情况一：当$m = 2$时，此时集合$A$中的元素为$0$，$2$，$m^2 - 3m + 2 = 2^2 - 3×2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$，这样集合$A$就变成了$\{0, 2, 0\}$，不满足集合元素的互异性（元素不能重复），所以$m = 2$不符合要求，排除选项A。
情况二：当$m^2 - 3m + 2 = 2$时，解方程$m^2 - 3m + 2 = 2$，移项可得$m^2 - 3m = 0$，因式分解得$m(m - 3) = 0$，所以$m = 0$或$m = 3$。
若$m = 0$，则集合$A$中的元素为$0$，$0$，$2$，同样不满足元素的互异性（有两个$0$），所以$m = 0$不符合要求，排除选项C。
若$m = 3$，此时集合$A$中的元素为$0$，$3$，$m^2 - 3m + 2 = 3^2 - 3×3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2$，集合$A = \{0, 3, 2\}$，所有元素互不相同，满足集合元素的互异性，所以$m = 3$是符合条件的。
另外，选项D中的$m = -2$，当$m = -2$时，$m^2 - 3m + 2 = (-2)^2 - 3×(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$，此时集合$A = \{0, -2, 12\}$，虽然满足元素互异性，但$2 \notin A$，不满足题目中$2 \in A$的条件，所以排除选项D。
综上，只有$m = 3$符合题意。
【答案】：B

2. 已知命题 $ p : \exists n \in \mathbf { N }, 2 ^ { n } - 2 $ 是素数,则 $ \neg p $ 为(D)
A.$ \forall n \notin \mathbf { N }, 2 ^ { n } - 2 $ 不是素数
B.$ \exists n \in \mathbf { N }, 2 ^ { n } - 2 $ 不是素数
C.$ \exists n \notin \mathbf { N }, 2 ^ { n } - 2 $ 不是素数
D.$ \forall n \in \mathbf { N }, 2 ^ { n } - 2 $ 不是素数

答案： 【解析】：本题考查特称命题的否定。特称命题的否定是全称命题，即将存在量词“∃”改为全称量词“∀”，并否定结论。原命题$p:\exists n\in\mathbf{N},2^n - 2$是素数，所以$\neg p$为$\forall n\in\mathbf{N},2^n - 2$不是素数。
【答案】：D

3. 设集合 $ A = \{ 1, a - 1 \}, B = \{ - 1, 2 a - 3, 1 - 2 a \} $,若 $ A \subseteq B $,则 $ a = $(D)
A.2
B.$ \frac { 2 } { 3 } $
C.1
D.0

答案： 3. D 因为 $ A \subseteq B $,所以 $ 1 \in B $。当 $ 2 a - 3 = 1 $ 时, $ a = 2 $,此时 $ a - 1 = 1 $,舍去；当 $ 1 - 2 a = 1 $ 时, $ a = 0 $,此时 $ A = \{ 1, - 1 \}, B = \{ - 1, - 3, 1 \} $,符合题意,故选 D。

4. “四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 【解析】：本题考查充分条件和必要条件的判断。首先分析“四边形的四条边相等”能否推出“四边形是正方形”，四条边相等的四边形可能是菱形，不一定是正方形，所以充分性不成立；再分析“四边形是正方形”能否推出“四边形的四条边相等”，正方形的四条边一定相等，所以必要性成立。综上，“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要不充分条件。
【答案】：B

5. (多选)已知全集 $ U = \mathbf { R } $,集合 $ A = \{ x | x ＜ 2 \} $, $ B = \{ x | 3 - 2 x ＞ 0 \} $,则(AB)
A.$ A \cap B = \{ x | x ＜ \frac { 3 } { 2 } \} $
B.$ A \cap ( \complement _ { U } B ) = \{ x | \frac { 3 } { 2 } \leq x ＜ 2 \} $
C.$ A \cup B = \{ x | x ＜ \frac { 3 } { 2 } \} $
D.$ ( \complement _ { U } A ) \cup B = \mathbf { R } $

答案： 【解析】：本题考查集合的交集、并集、补集运算。首先，根据已知条件求出集合$B$，再分别计算各选项。
因为全集$U = \mathbf{R}$，集合$A = \{ x | x ＜ 2 \}$，$B = \{ x | 3 - 2x ＞ 0 \}$，解不等式$3 - 2x ＞ 0$得$x ＜ \frac{3}{2}$，所以$B = \{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$。
对于选项A：$A \cap B$，即求$\{ x | x ＜ 2 \}$与$\{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$的交集，根据交集定义，取两集合中$x$的公共部分，所以$A \cap B = \{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$，A选项正确。
对于选项B：先求$\complement_U B$，因为$B = \{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$，所以$\complement_U B = \{ x | x \geq \frac{3}{2} \}$。再求$A \cap (\complement_U B)$，即$\{ x | x ＜ 2 \}$与$\{ x | x \geq \frac{3}{2} \}$的交集，取公共部分得$\{ x | \frac{3}{2} \leq x ＜ 2 \}$，B选项正确。
对于选项C：$A \cup B$，即$\{ x | x ＜ 2 \}$与$\{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$的并集，根据并集定义，取两集合中所有$x$的范围，所以$A \cup B = \{ x | x ＜ 2 \}$，而不是$\{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$，C选项错误。
对于选项D：先求$\complement_U A$，因为$A = \{ x | x ＜ 2 \}$，所以$\complement_U A = \{ x | x \geq 2 \}$。再求$(\complement_U A) \cup B$，即$\{ x | x \geq 2 \}$与$\{ x | x ＜ \frac{3}{2} \}$的并集，其结果为$\{ x | x ＜ \frac{3}{2} $或$ x \geq 2 \}$，不是$\mathbf{R}$，D选项错误。
综上，正确的选项是A、B。
【答案】：AB

6. (多选)下列命题中为真命题的有(ABC)
A.$ \exists x \in \mathbf { R }, x \leq 0 $
B.至少有一个整数,它既不是合数也不是质数
C.$ \exists x \in \{ x | x $ 是无理数 $ \}, x + 5 $ 是无理数
D.任何实数都有算术平方根

答案： 【解析】：本题考查存在量词命题与全称量词命题的真假判断。
选项A：“$\exists x \in \mathbf{R}, x \leq 0$”，因为实数包括负数和0，例如$x=-1$满足$x \leq 0$，所以该命题为真命题。
选项B：“至少有一个整数，它既不是合数也不是质数”，整数1既不是合数也不是质数，所以该命题为真命题。
选项C：“$\exists x \in \{ x | x$是无理数$\}, x + 5$是无理数”，例如$x=\sqrt{2}$是无理数，$x + 5=\sqrt{2} + 5$也是无理数，所以该命题为真命题。
选项D：“任何实数都有算术平方根”，负数没有算术平方根，例如$-1$没有算术平方根，所以该命题为假命题。
【答案】：ABC

7. 设集合 $ A = \{ 1, 2, 3 \}, B = \{ 2, 3, 4, 5 \}, M = A \cap B $,则 $ M $ 的子集个数为______4。

答案： 【解析】：本题考查集合的交集运算以及子集个数的计算。首先，根据交集的定义，求出集合$A$与集合$B$的交集$M$，即由同时属于$A$和$B$的所有元素组成的集合。已知$A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4, 5\}$，所以$M = A \cap B = \{2, 3\}$。接下来，根据子集个数的计算公式，若一个集合中有$n$个元素，则它的子集个数为$2^n$。集合$M$中有$2$个元素，所以其子集个数为$2^2 = 4$。
【答案】：4

8. 已知集合 $ A = \{ 1, a ^ { 2 } \}, B = \{ a, 1 \} $。若 $ A = B $,则 $ a = $______0。

答案： 【解析】：本题考查集合相等的概念。集合相等意味着两个集合中的元素完全相同。已知集合$A = \{1, a^2\}$，$B = \{a, 1\}$，且$A = B$，所以集合$A$和集合$B$中的元素必须一一对应相等。
因为两个集合中都有元素$1$，所以剩下的元素$a^2$和$a$必须相等，即$a^2 = a$。解这个方程可得$a^2 - a = 0$，因式分解得$a(a - 1) = 0$，所以$a = 0$或$a = 1$。
但是，集合中的元素具有互异性，即集合中的元素不能重复。当$a = 1$时，集合$A = \{1, 1\}$，不满足元素的互异性，所以$a = 1$应舍去。
因此，$a$的值只能是$0$。
【答案】：0

9. 已知集合 $ A = \{ x | - 2 \leq x \leq 5 \}, B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1 \} $,且 $ B \neq \varnothing $。
(1) 若 $ B \subseteq A $,求实数 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ A \cap B \neq \varnothing $,求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 9. 解：
(1) 因为 $ B \subseteq A $,且 $ B \neq \varnothing $,所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { m + 1 \leq 2 m - 1 }, \\ { m + 1 \geq - 2 }, \\ { 2 m - 1 \leq 5 }, \end{array} \right. $ 解得 $ 2 \leq m \leq 3 $,即实数 $ m $ 的取值范围是 $ \{ m | 2 \leq m \leq 3 \} $。
(2) 因为 $ A \cap B \neq \varnothing $,且 $ B \neq \varnothing $,所以 $ m + 1 \leq 2 m - 1 $,所以 $ m \geq 2 $。当 $ m \geq 2 $ 时,一定有 $ m + 1 \geq 3 $,要想满足 $ A \cap B \neq \varnothing $,则要满足 $ m + 1 \leq 5 $,解得 $ m \leq 4 $,所以当 $ A \cap B \neq \varnothing $ 时, $ 2 \leq m \leq 4 $,即实数 $ m $ 的取值范围是 $ \{ m | 2 \leq m \leq 4 \} $。

10. 已知集合 $ A = \{ x | - 2 \leq x - 1 \leq 5 \} $,集合 $ B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1 \} $。
(1) 若 $ A \cap B = \varnothing $,求实数 $ m $ 的取值范围；
(2) 设 $ p : x \in A ; q : x \in B $,若 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件,求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 10. 解：
(1) 由题意得 $ A = \{ x | - 2 \leq x - 1 \leq 5 \} = \{ x | - 1 \leq x \leq 6 \} $。又 $ A \cap B = \varnothing $,当 $ B = \varnothing $ 时, $ m + 1 ＞ 2 m - 1 $,解得 $ m ＜ 2 $；当 $ B \neq \varnothing $ 时, $ m + 1 \leq 2 m - 1, m + 1 ＞ 6 $ 或 $ 2 m - 1 ＜ - 1 $,解得 $ m ＞ 5 $。综上,实数 $ m $ 的取值范围是 $ \{ m | m ＜ 2 $ 或 $ m ＞ 5 \} $。
(2) 因为 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件,所以集合 $ B $ 是集合 $ A $ 的真子集。当 $ B = \varnothing $ 时, $ m + 1 ＞ 2 m - 1 $,解得 $ m ＜ 2 $；当 $ B \neq \varnothing $ 时, $ \left\{ \begin{array} { l } { m + 1 \leq 2 m - 1 }, \\ { m + 1 \geq - 1 }, \\ { 2 m - 1 \leq 6 } \end{array} \right. $(等号不能同时成立),解得 $ 2 \leq m \leq \frac { 7 } { 2 } $。综上,实数 $ m $ 的取值范围是 $ \left\{ m | m \leq \frac { 7 } { 2 } \right\} $。