《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. (对应题型一) 判断下列函数的奇偶性：
(1) $ f(x) = x - \frac{1}{x} $；
(2) $ f(x) = x^3 - 2x $；
(3) $ f(x) = x + 1 $；
(4) $ f(x) = x^2 $,$ x \in (-1, 1] $。

答案： 【解析】：本题考查函数奇偶性的判断。判断函数奇偶性需先看定义域是否关于原点对称，若不对称则为非奇非偶函数；若对称，再看$f(-x)$与$f(x)$的关系，$f(-x)=f(x)$为偶函数，$f(-x)=-f(x)$为奇函数。
(1) $f(x)=x - \frac{1}{x}$，定义域为$\{x|x\neq0\}$，关于原点对称。$f(-x)=-x - \frac{1}{-x}=-x + \frac{1}{x}=-(x - \frac{1}{x})=-f(x)$，所以是奇函数。
(2) $f(x)=x^3 - 2x$，定义域为$R$，关于原点对称。$f(-x)=(-x)^3 - 2(-x)=-x^3 + 2x=-(x^3 - 2x)=-f(x)$，所以是奇函数。
(3) $f(x)=x + 1$，定义域为$R$，关于原点对称。$f(-x)=-x + 1$，$-f(x)=-x - 1$，$f(-x)\neq f(x)$且$f(-x)\neq -f(x)$，所以是非奇非偶函数。
(4) $f(x)=x^2$，$x\in(-1,1]$，定义域不关于原点对称（$1$在定义域内，$-1$不在），所以是非奇非偶函数。
【答案】：
(1)奇函数；
(2)奇函数；
(3)非奇非偶函数；
(4)非奇非偶函数

2. (对应题型二) 已知 $ m $,$ n $ 是常数,函数 $ y = (m - 1)x^2 + 3x + (2 - n) $ 为奇函数,求 $ m $,$ n $ 的值。

答案： 【解析】：本题考查奇函数的定义。对于奇函数$y = f(x)$，有$f(-x)=-f(x)$对定义域内任意$x$都成立。将函数$y=(m - 1)x^2 + 3x + (2 - n)$代入该定义，通过对比等式两边同类项系数来求解$m$和$n$的值。
【答案】：解：因为函数$y=(m - 1)x^2 + 3x + (2 - n)$为奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。
$f(-x)=(m - 1)(-x)^2 + 3(-x) + (2 - n)=(m - 1)x^2 - 3x + (2 - n)$
$-f(x)=-[(m - 1)x^2 + 3x + (2 - n)]=-(m - 1)x^2 - 3x + (n - 2)$
则$(m - 1)x^2 - 3x + (2 - n)=-(m - 1)x^2 - 3x + (n - 2)$
所以$\begin{cases}m - 1=-(m - 1)\\2 - n=n - 2\end{cases}$
解得$m = 1$，$n = 2$
$\therefore m=1$，$n=2$

3. (对应题型三) 已知函数 $ y = f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数,且当 $ x \leq 0 $ 时,$ f(x) = x^2 + 2x $,现已作出函数 $ f(x) $ 在 $ y $ 轴左侧的图象,如图所示。
(1) 请补全函数 $ y = f(x) $ 的图象；
(2) 根据图象写出函数 $ y = f(x) $ 的单调递增区间；
(3) 根据图象写出使得 $ f(x) ＜ 0 $ 的 $ x $ 的取值范围。

答案：
(1) 由于函数$y = f(x)$是偶函数，其图象关于$y$轴对称。已知当$x \leq 0$时$f(x)=x^2 + 2x$，先作出$x \leq 0$部分的图象，再根据对称性作出$x ＞ 0$部分的图象（图略）。
(2) 单调递增区间为$(-1, 0)$和$(1, +\infty)$。
(3) 使得$f(x) ＜ 0$的$x$的取值范围是$(-2, 0)\cup(0, 2)$。