《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 将下列各式因式分解：
(1) $a^{2}-ab+ac-bc$；
(2) $a^{2}-b^{2}+a+b$。

答案： 【解析】：本题考查因式分解，主要涉及分组分解法和公式法。
(1) 对于式子 $a^{2}-ab+ac-bc$，可将前两项和后两项分别分组，即$(a^{2}-ab)+(ac-bc)$，然后分别提取公因式$a$和$c$，得到$a(a - b) + c(a - b)$，此时发现两组式子都含有公因式$(a - b)$，再提取公因式即可完成因式分解。
(2) 对于式子$a^{2}-b^{2}+a+b$，先利用平方差公式分解$a^{2}-b^{2}$得到$(a + b)(a - b)$，此时式子变为$(a + b)(a - b)+(a + b)$，然后提取公因式$(a + b)$，再对剩余部分整理即可。
【答案】：
(1) 解：原式$=(a^{2}-ab)+(ac - bc)$
$=a(a - b)+c(a - b)$
$=(a - b)(a + c)$
(2) 解：原式$=(a + b)(a - b)+(a + b)$
$=(a + b)(a - b + 1)$

(1) 将前两项看作一组,提取公因数 $a$,将后两项看作一组,提取公因数 $c$,然后,再提取公因式 $a - b$；(2) 将前两项看作一组,应用平方差公式因式分解,将后两项看作一组,然后,再提取公因式 $a + b$。
解：
(1) $a^{2}-ab+ac-bc= a(a - b)+c(a - b)= (a - b)(a + c)$。
(2) $a^{2}-b^{2}+a+b= (a - b)(a + b)+(a + b)= (a + b)(a - b + 1)$。
[反思归纳] 使用分组分解法的关键在于如何恰当地分组,目的是在分组后进行恰当地变形,为使用提取公因式法和公式法创造条件。

答案： 【解析】：本题考查因式分解中的分组分解法。（1）题通过将前两项和后两项分别分组，提取各自的公因式后，发现两组间存在新的公因式，进而完成因式分解；（2）题先对前两项用平方差公式分解，再与后两项分组，提取公因式得到结果。关键在于合理分组以创造提取公因式或运用公式的条件。
【答案】：
(1) $a^{2}-ab+ac-bc$
$= a(a - b)+c(a - b)$
$= (a - b)(a + c)$
(2) $a^{2}-b^{2}+a+b$
$= (a - b)(a + b)+(a + b)$
$= (a + b)(a - b + 1)$

[例2] 将下列各式因式分解：
(1) $x^{2}-3x-4$；
(2) $x^{2}+2x-15$。

答案： 【解析】：本题考查九年级数学中利用十字相乘法进行因式分解。对于二次三项式$x^2 + bx + c$，需要找到两个数，它们的乘积等于常数项$c$，它们的和等于一次项系数$b$，然后将其分解为$(x + m)(x + n)$的形式。
【答案】：
(1) 解：原式$=(x - 4)(x + 1)$
(2) 解：原式$=(x + 5)(x - 3)$