《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例4](1)用篱笆围成一个面积为$100m^{2}$的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?
(2)用一段长为$36m$的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
思维启迪 (1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积,于是问题转化为:矩形的邻边之积为定值,边长多大时周长最短;(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍,于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值,边长多大时面积最大.
解:设矩形菜园的相邻两条边的长分别为$x m,y m$,篱笆的长度为$2(x+y)m$.
(1)由已知得$xy= 100$,由$\frac {x+y}{2}≥\sqrt {xy}$,可得$x+y≥2\sqrt {xy}= 20$,所以$2(x+y)≥40$,当且仅当$x= y= 10$时,等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为$10m$的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为$40m$.
(2)由已知得$2(x+y)= 36$,矩形菜园的面积为$xy m^{2}$.由$\sqrt {xy}≤\frac {x+y}{2}= \frac {18}{2}= 9$,可得$xy≤81$,当且仅当$x= y= 9$时,等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为$9m$的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是$81m^{2}$.
[反思归纳]利用基本不等式解决实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识解决问题.

答案： 【解析】：本题考查基本不等式在实际问题中的应用。对于（1），已知矩形面积为定值，求周长最短，可根据基本不等式$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$（当且仅当$x = y$时等号成立），将面积关系转化为周长关系求解；对于（2），已知矩形周长为定值，求面积最大，利用基本不等式$\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2}$（当且仅当$x = y$时等号成立），将周长关系转化为面积关系求解。
【答案】：
（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为$x m$，$y m$，篱笆的长度为$2(x + y)m$。
由已知得$xy = 100$，
由基本不等式$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$，
可得$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20$，
所以$2(x + y) \geq 40$，
当且仅当$x = y = 10$时，等号成立。
因此，当这个矩形菜园是边长为$10m$的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为$40m$。
（2）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为$x m$，$y m$，矩形菜园的面积为$xy m^2$。
由已知得$2(x + y) = 36$，即$x + y = 18$，
由基本不等式$\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2}$，
可得$\sqrt{xy} \leq \frac{18}{2} = 9$，
两边平方得$xy \leq 81$，
当且仅当$x = y = 9$时，等号成立。
因此，当这个矩形菜园是边长为$9m$的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是$81m^2$。

1. (对应题型一)已知$a,b,c∈R$,求证:
(1)$a^{2}+2b^{2}+1≥2b(a+1)$;
(2)$a^{2}+b^{2}+c^{2}≥ab+bc+ca$.

答案： 【解析】：（1）要证明$a^{2}+2b^{2}+1≥2b(a + 1)$，可通过移项将不等式右边的项移到左边，然后对得到的式子进行配方，利用完全平方数的非负性来证明。
（2）要证明$a^{2}+b^{2}+c^{2}≥ab + bc + ca$，可考虑将不等式两边同时乘以2，然后通过配方转化为几个完全平方数之和的形式，再利用完全平方数的非负性证明。
【答案】：证明：
(1)
∵$a^{2}+2b^{2}+1 - 2b(a + 1)$
$=a^{2}+2b^{2}+1 - 2ab - 2b$
$=a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2b + 1$
$=(a - b)^{2}+(b - 1)^{2}$
又
∵$(a - b)^{2}≥0$，$(b - 1)^{2}≥0$
∴$(a - b)^{2}+(b - 1)^{2}≥0$
即$a^{2}+2b^{2}+1 - 2b(a + 1)≥0$
∴$a^{2}+2b^{2}+1≥2b(a + 1)$
(2)
∵$2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 2(ab + bc + ca)$
$=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab - 2bc - 2ca$
$=(a^{2}-2ab + b^{2})+(b^{2}-2bc + c^{2})+(c^{2}-2ca + a^{2})$
$=(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}$
又
∵$(a - b)^{2}≥0$，$(b - c)^{2}≥0$，$(c - a)^{2}≥0$
∴$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}≥0$
即$2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 2(ab + bc + ca)≥0$
两边同时除以2得：$a^{2}+b^{2}+c^{2}≥ab + bc + ca$

2. (对应题型二)(1)求$y= \frac {1}{x-3}+x(x＞3)$的最小值;
(2)已知$0＜x＜\frac {1}{4}$,求$y= \sqrt {x(1-4x)}$的最大值;
(3)已知$a＞0,b＞0$,且$\frac {1}{a}+\frac {4}{b}= 2$,求$a+b$的最小值.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查基本不等式求最值。因为$x＞3$，所以$x - 3＞0$，可将函数$y = \frac{1}{x - 3} + x$变形为$y = \frac{1}{x - 3} + (x - 3) + 3$，再利用基本不等式$a + b \geq 2\sqrt{ab}$（$a＞0$，$b＞0$，当且仅当$a = b$时取等号）求解最小值。
(2) 本题考查基本不等式在二次根式中的应用。已知$0＜x＜\frac{1}{4}$，则$1 - 4x＞0$，先对$x(1 - 4x)$进行变形，可写成$\frac{1}{4}×4x(1 - 4x)$，再利用基本不等式$ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$（$a＞0$，$b＞0$，当且仅当$a = b$时取等号）求出$x(1 - 4x)$的最大值，进而得到$y$的最大值。
(3) 本题考查利用基本不等式求最值，需对$a + b$进行构造。已知$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 2$，可将$a + b$表示为$\frac{1}{2}(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b})$，展开后再利用基本不等式求解最小值。
【答案】：
(1)
解：因为$x＞3$，所以$x - 3＞0$。
$y = \frac{1}{x - 3} + x = \frac{1}{x - 3} + (x - 3) + 3$
根据基本不等式$a + b \geq 2\sqrt{ab}$（$a＞0$，$b＞0$），
则$\frac{1}{x - 3} + (x - 3) \geq 2\sqrt{\frac{1}{x - 3}×(x - 3)} = 2$
所以$y \geq 2 + 3 = 5$
当且仅当$\frac{1}{x - 3} = x - 3$，即$(x - 3)^2 = 1$，$x - 3 = 1$（$x - 3 = -1$舍去，因为$x＞3$），$x = 4$时取等号。
所以$y$的最小值为$5$。
(2)
解：因为$0＜x＜\frac{1}{4}$，所以$1 - 4x＞0$。
$x(1 - 4x) = \frac{1}{4}×4x(1 - 4x)$
根据基本不等式$ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$（$a＞0$，$b＞0$），
$4x(1 - 4x) \leq (\frac{4x + 1 - 4x}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
所以$x(1 - 4x) \leq \frac{1}{4}×\frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
则$y = \sqrt{x(1 - 4x)} \leq \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
当且仅当$4x = 1 - 4x$，即$8x = 1$，$x = \frac{1}{8}$时取等号（$\frac{1}{8}$在$0＜x＜\frac{1}{4}$范围内）。
所以$y$的最大值为$\frac{1}{4}$。
(3)
解：因为$a＞0$，$b＞0$，且$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 2$，
所以$a + b = \frac{1}{2}(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b})$
$= \frac{1}{2}(1 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a} + 4)$
$= \frac{1}{2}(5 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a})$
根据基本不等式$\frac{4a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{4a}{b}×\frac{b}{a}} = 4$
所以$a + b \geq \frac{1}{2}(5 + 4) = \frac{9}{2}$
当且仅当$\frac{4a}{b} = \frac{b}{a}$，即$b^2 = 4a^2$，$b = 2a$（$a＞0$，$b＞0$）时取等号。
将$b = 2a$代入$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 2$，得$\frac{1}{a} + \frac{4}{2a} = 2$，$\frac{1}{a} + \frac{2}{a} = 2$，$\frac{3}{a} = 2$，$a = \frac{3}{2}$，则$b = 3$。
所以$a + b$的最小值为$\frac{9}{2}$。