《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例5] 因式分解：$6x^{2}+xy-2y^{2}+2x-8y-8$。

答案： 【解析】：本题考查因式分解，属于九年级数学内容，题型为计算题。观察多项式$6x^{2}+xy - 2y^{2}+2x - 8y - 8$，可先将前三项$6x^{2}+xy - 2y^{2}$看作关于$x$的二次三项式进行因式分解，得到$(2x - y)(3x + 2y)$，然后设原式可分解为$(2x - y + a)(3x + 2y + b)$，展开后通过对应系数相等求出$a$和$b$的值，进而完成因式分解。
【答案】：解：原式$=6x^{2}+xy - 2y^{2}+2x - 8y - 8$
先分解$6x^{2}+xy - 2y^{2}$，可得$(2x - y)(3x + 2y)$
设原式$=(2x - y + a)(3x + 2y + b)$
展开得：$6x^{2}+4xy + 2bx - 3xy - 2y^{2}-by + 3ax + 2ay + ab$
合并同类项：$6x^{2}+(4xy - 3xy)+(2bx + 3ax)+(-2y^{2})+(-by + 2ay)+ab$
即$6x^{2}+xy + (2b + 3a)x - 2y^{2}+(2a - b)y + ab$
与原式对比系数：
$\begin{cases}2b + 3a = 2 \\2a - b = - 8 \\ab = - 8\end{cases}$
由$2a - b = - 8$得$b = 2a + 8$，代入$2b + 3a = 2$
$2(2a + 8)+3a = 2$
$4a + 16 + 3a = 2$
$7a = - 14$，$a = - 2$
则$b = 2×(-2)+8 = 4$
所以原式$=(2x - y - 2)(3x + 2y + 4)$

把多项式的前三项按十字相乘法因式分解得 $6x^{2}+xy-2y^{2}= (2x - y)(3x + 2y)$,则原多项式的两个因式一定是 $2x - y + a$ 和 $3x + 2y + b$ 的形式,因此可用待定系数法。
解：设 $6x^{2}+xy-2y^{2}+2x-8y-8= (2x - y + a)(3x + 2y + b)= 6x^{2}+xy-2y^{2}+(2b + 3a)x+(2a - b)y + ab$。
比较等式两边对应项的系数,得
$\begin{cases}2b + 3a = 2, & \text{①} \\2a - b = -8, & \text{②} \\ab = -8, & \text{③}\end{cases} $
由①②解得 $a = -2$,$b = 4$。
将 $a = -2$,$b = 4$ 代入③能成立,
所以原式 $=(2x - y - 2)(3x + 2y + 4)$。
[反思归纳] 一般地,对于多项式 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$ 的因式分解,如果已知 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}= (ax + b)(cx + d)$,那么可设 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F= (ax + b + e)(cx + d + f)$,然后通过解方程组求出待定系数 $e$,$f$。

答案： 解：设 $6x^{2}+xy-2y^{2}+2x-8y-8=(2x - y + a)(3x + 2y + b)$
展开右边得：$6x^{2}+xy-2y^{2}+(2b + 3a)x+(2a - b)y + ab$
比较等式两边对应项系数，得
$\begin{cases}2b + 3a = 2, & ① \\2a - b = -8, & ② \\ab = -8, & ③\end{cases}$
由②得 $b=2a + 8$，代入①：
$2(2a + 8)+3a=2$
$4a + 16 + 3a=2$
$7a=-14$
$a=-2$
则 $b=2×(-2)+8=4$
将 $a=-2$，$b=4$ 代入③：$(-2)×4=-8$，成立
所以原式$=(2x - y - 2)(3x + 2y + 4)$
答案：$(2x - y - 2)(3x + 2y + 4)$

1. (对应题型一) 将下列各式因式分解：
(1) $ax+ay+bx+by$；
(2) $2xy-x^{2}+1-y^{2}$。

答案： 1. 解：
(1) $ax+ay+bx+by= (ax + ay)+(bx + by)= a(x + y)+b(x + y)= (x + y)(a + b)$。
(2) $2xy-x^{2}+1-y^{2}= -(x^{2}-2xy + y^{2})+1= 1-(x - y)^{2}= (1 - x + y)(1 + x - y)$。

2. (对应题型二) 将下列各式因式分解：
(1) $a^{2}-9a+20$；
(2) $x^{2}-4x-21$。

答案： 2. 解：
(1) $a^{2}-9a+20= (a - 4)(a - 5)$。
(2) $x^{2}-4x-21= (x - 7)(x + 3)$。

3. (对应题型三) 将下列各式因式分解：
(1) $12x^{2}-5x-2$；
(2) $11x-x^{2}-18$。

答案： 3. 解：
(1) $12x^{2}-5x-2= (3x - 2)(4x + 1)$；
(2) $11x-x^{2}-18= -(x^{2}-11x + 18)= -(x - 2)(x - 9)$。

4. (对应题型四) 将下列各式因式分解：
(1) $a^{2}-8ab-128b^{2}$；
(2) $8x^{2}+2xy-3y^{2}$。

答案： 4. 解：
(1) $a^{2}-8ab-128b^{2}= (a + 8b)(a - 16b)$。
(2) $8x^{2}+2xy-3y^{2}= (2x - y)(4x + 3y)$。

5. (对应题型五) 已知 $x^{2}+2x+1$ 是多项式 $x^{3}-x^{2}+ax+b$ 的因式,求 $a$,$b$ 的值。

答案： 5. 解：设 $x^{3}-x^{2}+ax+b= (x^{2}+2x + 1)(x + k)= x^{3}+(k + 2)x^{2}+(2k + 1)x + k$。比较等式两边对应项的系数,得
$\begin{cases}k + 2 = -1, \\2k + 1 = a, \\k = b,\end{cases} $
解得
$\begin{cases}k = -3, \\a = -5, \\b = -3.\end{cases} $