《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 1] 根据定义证明函数 $ y = x + \frac{1}{x} $ 在区间 $ (1, +\infty) $ 上单调递增。

答案： 思维启迪 在 $ (1, +\infty) $ 内任意取 $ x_1 ＜ x_2 $,作差 $ y_1 - y_2 $,证明 $ y_1 - y_2 ＜ 0 $,即 $ y_1 ＜ y_2 $ 即可。
证明：$ \forall x_1, x_2 \in (1, +\infty) $,且 $ x_1 ＜ x_2 $,有
$ y_1 - y_2 = (x_1 + \frac{1}{x_1}) - (x_2 + \frac{1}{x_2}) = (x_1 - x_2) + (\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}) = (x_1 - x_2) + \frac{x_2 - x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}(x_1x_2 - 1) $。由 $ x_1, x_2 \in (1, +\infty) $,得 $ x_1 ＞ 1, x_2 ＞ 1 $,所以 $ x_1x_2 ＞ 1, x_1x_2 - 1 ＞ 0 $。又由 $ x_1 ＜ x_2 $,得 $ x_1 - x_2 ＜ 0 $,于是 $ \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}(x_1x_2 - 1) ＜ 0 $,即 $ y_1 ＜ y_2 $。所以函数 $ y = x + \frac{1}{x} $ 在区间 $ (1, +\infty) $ 上单调递增。
[反思归纳] 利用定义证明函数在给定区间上的单调性的步骤：
(1) 设值。设 $ x_1, x_2 $ 是给定区间上的任意两个值,且 $ x_1 ＜ x_2 $；
(2) 作差变形。作差 $ f(x_1) - f(x_2) $,对差式 $ f(x_1) - f(x_2) $ 利用因式分解、通分、配方、有理化等手段进行变形,转化为易判断正负的关系式；
(3) 定号。确定 $ f(x_1) - f(x_2) $ 的符号；
(4) 结论。根据 $ f(x_1) - f(x_2) $ 的符号与定义确定单调性。