《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

3. (对应题型三) 已知幂函数$f(x)= (2k - 1)x^{m^{2}-2m - 3}(m\in\mathbf{N}^{*})$为偶函数,且在$(0,+\infty)$上单调递减。求：
(1) $m和k$的值；
(2) 满足$(2a + 1)^{-m}\lt(3 - 2a)^{-m}的实数a$的取值范围。

答案：
(1) 解：因为$f(x)$是幂函数，所以$2k - 1 = 1$，解得$k = 1$。
$f(x) = x^{m^2 - 2m - 3}$为偶函数且在$(0, +\infty)$上单调递减，所以$m^2 - 2m - 3$是负偶数。
$m^2 - 2m - 3 = (m - 1)^2 - 4$，$m \in \mathbf{N}^*$。
当$m = 1$时，指数为$-4$，符合题意；当$m = 2$时，指数为$-3$（奇数，舍去）；当$m = 3$时，指数为$0$（非负，舍去）；$m \geq 4$时，指数非负，舍去。故$m = 1$。
(2) 解：由
(1)知$m = 1$，不等式为$(2a + 1)^{-1} ＜ (3 - 2a)^{-1}$，即$\frac{1}{2a + 1} ＜ \frac{1}{3 - 2a}$。
移项通分得$\frac{3 - 2a - (2a + 1)}{(2a + 1)(3 - 2a)} ＜ 0$，化简得$\frac{2 - 4a}{(2a + 1)(3 - 2a)} ＜ 0$，即$\frac{2(1 - 2a)}{(2a + 1)(3 - 2a)} ＜ 0$，等价于$\frac{2a - 1}{(2a + 1)(2a - 3)} ＜ 0$。
令$(2a + 1)(2a - 1)(2a - 3) = 0$，得$a = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$。
数轴穿根得解集为$a ＜ -\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。
又分母不为零，所以$a \neq -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$。
综上，$a$的取值范围是$(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$。