《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

3. (对应题型三)已知$ab\neq0$,求证：$a + b = 1是a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}= 0$的充要条件。

答案： 3. 解：充分性：因为$a + b = 1$,所以$b = 1 - a$,所以$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}= a^{3}+(1 - a)^{3}+a(1 - a)-a^{2}-(1 - a)^{2}= a^{3}+1 - 3a + 3a^{2}-a^{3}+a - a^{2}-a^{2}-1 + 2a - a^{2}= 0$,即$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}= 0$。
必要性：因为$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}= 0$,所以$(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})-(a^{2}-ab + b^{2})= 0$,所以$(a^{2}-ab + b^{2})(a + b - 1)= 0$。因为$ab\neq0$,所以$a\neq0且b\neq0$,所以$a^{2}-ab + b^{2}\neq0$,所以$a + b - 1 = 0$,即$a + b = 1$。
综上可知,当$ab\neq0$时,$a + b = 1是a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}= 0$的充要条件。