《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

题型 平方差公式的应用
[例1]利用平方差公式计算：
(1)$(a+b+2c)(a+b-2c)$；
(2)$29×31$。

答案： 【解析】：本题考查平方差公式的应用。平方差公式为$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，应用时需将式子转化为两个数（或式子）的和与这两个数（或式子）的差相乘的形式。
（1）题中，把$a + b$看作一个整体$m$，$2c$看作$n$，符合平方差公式结构；
（2）题中，29和31分别接近30，可转化为$30 - 1$和$30 + 1$，即$m = 30$，$n = 1$，应用平方差公式计算。
【答案】：
(1) $(a + b + 2c)(a + b - 2c)$
解：原式$=[(a + b)+2c][(a + b)-2c]$
$=(a + b)^2-(2c)^2$
$=a^2 + 2ab + b^2-4c^2$
(2) $29×31$
解：原式$=(30 - 1)×(30 + 1)$
$=30^2-1^2$
$=900 - 1$
$=899$

题型 完全平方公式的应用
[例2](1)已知$x-\frac {1}{x}= \sqrt {2}$,求$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}$的值；4
(2)已知$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}= 2(x＜0)$,求$x+\frac {1}{x}$的值。-2

答案： 【解析】：本题考查完全平方公式的应用，属于九年级数学内容，题型为解答题。（1）已知$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$，要求$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值，可将已知等式两边平方，利用完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$展开，通过变形求出结果；（2）已知$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$且$x ＜ 0$，要求$x + \frac{1}{x}$的值，先将待求式平方，利用完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$展开，代入已知条件求出平方后的结果，再根据$x$的正负性确定开方后的符号。
【答案】：
（1）解：因为$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$，
所以$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2$，
所以$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 2$，
即$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2$，
所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$。
（2）解：因为$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$，
所以$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$
$= x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$
$= 2 + 2 = 4$。
又因为$x ＜ 0$，
所以$\frac{1}{x} ＜ 0$，
所以$x + \frac{1}{x} ＜ 0$，
所以$x + \frac{1}{x} = -2$。