《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 下列对象能组成集合的是 (D)
A.$\sqrt{3}$的近似值
B.立德中学高一(2)班学习好的所有同学
C.2024年中考数学试题中的所有难题
D.到直线l的距离等于定长d的所有点

答案： 解：A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C中的对象都不能组成集合,D中的对象是确定的,能组成集合,故选D。
[反思归纳] 判断元素能否组成集合,关键考查集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以组成集合,否则不可以。

[例2] 给出下列关系：①$\frac{1}{2}\in R$；②$\sqrt{2}\notin Q$；③|-3|$\notin N$；④|-$\sqrt{3}$|$\in Q$；⑤0$\notin N$；⑥3$\in N_+$。其中正确的个数为 (C)
A.1
B.2
C.3
D.4
思维启迪 认清所给数和所给数集的属性,根据元素与集合的关系进行判断。
解：因为$\frac{1}{2}$是实数,所以$\frac{1}{2}\in R$正确；因为$\sqrt{2}$是无理数,所以$\sqrt{2}\notin Q$正确；因为|-3|= 3是自然数,N表示自然数集,所以|-3|$\notin N$不正确；因为|-$\sqrt{3}$|= $\sqrt{3}$是无理数,所以|-$\sqrt{3}$|$\in Q$不正确；因为0是自然数,N表示自然数集,所以0$\notin N$不正确；因为3是正整数,N+表示正整数集,所以3$\in N_+$正确。综上,①②⑥正确,故选C。
[反思归纳] 判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件。若满足,就是“属于”关系；若不满足,就是“不属于”关系。特别注意,符号“∈”与“$\notin$”只表示元素与集合的关系。

答案： 【解析】：本题考查元素与集合的关系。需要明确各数集的定义：R为实数集，Q为有理数集，N为自然数集（包括0），N₊为正整数集。
①$\frac{1}{2}$是实数，所以$\frac{1}{2}\in R$，正确；
②$\sqrt{2}$是无理数，所以$\sqrt{2}\notin Q$，正确；
③$|-3| = 3$，3是自然数，所以$|-3|\in N$，原判断不正确；
④$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，所以$|-\sqrt{3}|\notin Q$，原判断不正确；
⑤0是自然数，所以$0\in N$，原判断不正确；
⑥3是正整数，所以$3\in N_+$，正确。
综上，①②⑥正确，共3个。
【答案】：C

[例3] 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程$x^2= x$的所有实数根组成的集合；
(3)直线y= x与y= 2x-1的交点组成的集合。
思维启迪 (1)把小于10的所有自然数一一列举出来,写在“{ }”内,元素间用“,”隔开；(2)求出方程$x^2= x$的所有实数根,写在“{ }”内,元素间用“,”隔开；(3)解方程组$\begin{cases}y= x,\\y= 2x-1,\end{cases} $求出两直线的交点坐标,将交点坐标写在“{ }”内。
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}。
(2)设方程$x^2= x$的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}。
(3)设直线y= x与y= 2x-1的交点组成的集合为C,解方程组$\begin{cases}y= x,\\y= 2x-1,\end{cases} 得\begin{cases}x= 1,\\y= 1,\end{cases} $即两直线的交点为(1,1),那么C={(1,1)}。
[反思归纳] 用列举法表示集合的注意点：(1)应先认清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素；(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复；(3)若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素。

答案： 【解析】：本题考查集合的列举法表示，涉及自然数的概念、一元二次方程的求解以及二元一次方程组的求解。
（1）需要明确小于10的自然数包括0和正整数1到9；
（2）通过解方程$x^2 = x$得到实数根；
（3）联立直线方程求解交点坐标，并用有序数对表示。
【答案】：
(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
(2)设方程$x^2 = x$的所有实数根组成的集合为B，解方程$x^2 - x = 0$，即$x(x - 1) = 0$，得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，那么B = {0, 1}。
(3)设直线y = x与y = 2x - 1的交点组成的集合为C，解方程组$\begin{cases}y = x \\ y = 2x - 1\end{cases}$，将y = x代入y = 2x - 1得$x = 2x - 1$，解得x = 1，所以y = 1，即交点为(1, 1)，那么C = {(1, 1)}。