《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 如图,一个矩形$ABCD$的两边长分别为5和12,$\triangle ABC沿对角线AC折叠后为\triangle ACE$,其中$CD与AE$相交,求$DE$的长。

[思维启迪] 作出$DE在AC$上的射影,将求$DE的长转化为求DE在AC$上的射影的长。
解：如图,分别过点$D$,$E作AC的垂线DM$,$EN$,垂足为$M$,$N$。因为$\triangle ADC≌\triangle CEA$,所以$DM = EN$,$AM = CN$。又$DM// EN$,所以四边形$DMNE$为矩形,所以$DE = MN$。在$Rt\triangle ADC$中,$AC = 13$,$AD^{2}= AM\cdot AC$,解得$AM= \frac{25}{13}$,所以$MN = AC - 2AM = 13-\frac{50}{13}= \frac{119}{13}$,所以$DE= \frac{119}{13}$。
[反思归纳] 图形折叠后,前后图形必全等,由此找出相等的角与线段,可利用直角三角形射影定理计算$AM$的长,进而求出$DE$的长。

答案： 【解析】：本题考查矩形的性质、图形折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形射影定理的应用。首先，根据矩形的性质和折叠的性质得到相关线段和角的关系，通过作垂线构造全等三角形和矩形，将求DE的长转化为求AC上特定线段的长，再利用射影定理计算关键线段长度，从而得出DE的长。
解：如图，分别过点D，E作AC的垂线DM，EN，垂足为M，N。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=12，∠ADC=90°。
∵△ABC沿对角线AC折叠后为△ACE，
∴△ABC≌△ACE，
∴CE=BC=AD=5，AE=AB=CD=12，∠CEA=∠CBA=90°。
在△ADC和△CEA中，
∵AD=CE，CD=AE，AC=CA，
∴△ADC≌△CEA（SSS），
∴DM=EN，AM=CN。
∵DM⊥AC，EN⊥AC，
∴DM//EN，
∴四边形DMNE为矩形，
∴DE=MN。
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$。
由射影定理得：AD²=AM·AC，
∴AM=$\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{5^{2}}{13}=\frac{25}{13}$。
∵AM=CN，
∴MN=AC - AM - CN=AC - 2AM=13 - 2×$\frac{25}{13}=13-\frac{50}{13}=\frac{169}{13}-\frac{50}{13}=\frac{119}{13}$。
∴DE=MN=$\frac{119}{13}$。
【答案】：$\frac{119}{13}$