《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例 5] 图中 U 是全集,集合 A,B 是 U 的两个子集,用阴影表示：
(1) $ (\complement_U A) \cap (\complement_U B) $；(2) $ (\complement_U A) \cup (\complement_U B) $.

答案：
思维启迪 根据补集的定义用阴影表示出集合 A,B 的补集,再利用交集、并集的定义用阴影表示 $ (\complement_U A) \cap (\complement_U B) $ 与 $ (\complement_U A) \cup (\complement_U B) $.
解：如下图阴影部分所示.

[反思归纳] 用 Venn 图的阴影部分表示集合的运算,在某集合范围之外的应为该集合的补集. 若为两个集合的相交部分,则为两个集合的交集；若包含多个集合的所有部分,则为这几个集合的并集.

1. (对应题型一) 求下列集合的并集：
(1) $ A = \{ 1, 2, 3 \} $,$ B = \{ 2, 3, 4 \} $；
(2) $ A = \{ x | 0 ＜ x \leq 3 \} $,$ B = \{ x | -1 \leq x ＜ 2 \} $.

答案：
1. 解：
(1) 因为 $ A = \{ 1, 2, 3 \} $,$ B = \{ 2, 3, 4 \} $,所以 $ A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $.

(2) 因为 $ A = \{ x | 0 ＜ x \leq 3 \} $,$ B = \{ x | -1 \leq x ＜ 2 \} $,在数轴上表示出集合 A 与 B,如图所示. 由图可得 $ A \cup B = \{ x | -1 \leq x \leq 3 \} $.

2. (对应题型二) 求下列集合的交集：
(1) $ A = \{ 1, -3 \} $,$ B = \{ -1, -3 \} $；
(2) $ E = \{ x | 1 ＜ x ＜ 3 \} $,$ F = \{ x | -2 \leq x ＜ 2 \} $.
(3) $ A = \{ (x, y) | y = -x + 1 \} $,$ B = \{ (x, y) | y = x^2 - 1 \} $.

答案： 【解析】：本题考查集合交集的运算。交集是指由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合。
(1) 集合A和集合B的元素中，共同的元素是-3，所以交集为{-3}；
(2) 集合E是1＜x＜3，集合F是-2≤x＜2，它们的公共部分是1＜x＜2，所以交集为{x|1＜x＜2}；
(3) 集合A和集合B都是点集，交集是两函数图像的交点，联立方程求解即可。
【答案】：
(1) 解：$A\cap B = \{ -3 \}$
(2) 解：$E\cap F = \{ x | 1 ＜ x ＜ 2 \}$
(3) 解：联立方程$\begin{cases}y = -x + 1 \\ y = x^2 - 1\end{cases}$
将$y = -x + 1$代入$y = x^2 - 1$得：$-x + 1 = x^2 - 1$
即$x^2 + x - 2 = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -2$
当$x = 1$时，$y = -1 + 1 = 0$；当$x = -2$时，$y = 2 + 1 = 3$
所以$A\cap B = \{ (1, 0), (-2, 3) \}$

3. (对应题型三) (1) 设 U 为全集,集合 $ A = \{ 0, 2, 4, 6 \} $,$ \complement_U A = \{ -1, -3, 1, 3 \} $,$ \complement_U B = \{ 2, 0, -1 \} $,求集合 B.
(2) 设全集 $ U = \mathbf{R} $,集合 $ A = \{ x | -1 \leq x \leq 4 \} $,$ B = \{ x | x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 5 \} $,求 $ \complement_U A $ 和 $ \complement_U B $.

答案： 【解析】：
(1)先根据集合A和它的补集求出全集U，再根据补集的定义，由全集U和集合B的补集求出集合B。
(2)根据补集的定义，在全集R中，分别求出集合A和集合B的补集。
【答案】：
(1)
∵集合$ A = \{ 0, 2, 4, 6 \} $，$ \complement_U A = \{ -1, -3, 1, 3 \} $
∴$ U = A \cup \complement_U A = \{ -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6 \} $
∵$ \complement_U B = \{ 2, 0, -1 \} $
∴$ B = U - \complement_U B = \{ -3, 1, 3, 4, 6 \} $
(2)
∵全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ A = \{ x | -1 \leq x \leq 4 \} $
∴$ \complement_U A = \{ x | x ＜ -1 $或$ x ＞ 4 \} $
∵集合$ B = \{ x | x ＜ -2 $或$ x ＞ 5 \} $
∴$ \complement_U B = \{ x | -2 \leq x \leq 5 \} $

4. (对应题型四) (1) 已知全集 $ U = \{ x \in \mathbf{Z} | -3 \leq x \leq 3 \} $,集合 $ A = \{ x \in \mathbf{N} | 2x + 1 \leq 5 \} $,$ B = \{ x \in \mathbf{Z} | |x| \leq 1 \} $,求 $ (\complement_U A) \cup B $.
(2) 已知全集 $ U = \{ x | x \leq 4 \} $,集合 $ A = \{ x | -2 ＜ x ＜ 3 \} $,$ B = \{ x | -3 ＜ x ＜ 3 \} $,求 $ \complement_U (A \cup B) $,$ (\complement_U A) \cap B $.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查集合的基本运算，涉及全集、子集、补集和并集。首先需要根据条件确定全集 $ U $、集合 $ A $ 和集合 $ B $ 的具体元素。对于全集 $ U $，$ x $ 是整数且满足 $ -3 \leq x \leq 3 $，所以 $ U = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} $。集合 $ A $ 中 $ x $ 是自然数且满足 $ 2x + 1 \leq 5 $，解不等式得 $ x \leq 2 $，所以 $ A = \{ 0, 1, 2 \} $。集合 $ B $ 中 $ x $ 是整数且 $ |x| \leq 1 $，即 $ -1 \leq x \leq 1 $，所以 $ B = \{ -1, 0, 1 \} $。然后求 $ \complement_U A $，即 $ U $ 中不属于 $ A $ 的元素，得到 $ \complement_U A = \{ -3, -2, -1, 3 \} $，最后求 $ (\complement_U A) \cup B $，将两个集合的元素合并，去除重复元素，结果为 $ \{ -3, -2, -1, 0, 1, 3 \} $。
(2) 本题同样考查集合的运算，包括并集、补集和交集。全集 $ U = \{ x | x \leq 4 \} $，集合 $ A = \{ x | -2 ＜ x ＜ 3 \} $，集合 $ B = \{ x | -3 ＜ x ＜ 3 \} $。首先求 $ A \cup B $，即 $ A $ 和 $ B $ 的所有元素组成的集合，由于 $ A $ 是 $ B $ 的子集（$ -2 ＜ x ＜ 3 $ 包含于 $ -3 ＜ x ＜ 3 $），所以 $ A \cup B = B = \{ x | -3 ＜ x ＜ 3 \} $。然后求 $ \complement_U (A \cup B) $，即 $ U $ 中不属于 $ A \cup B $ 的元素，所以 $ \complement_U (A \cup B) = \{ x | x \leq -3 $ 或 $ 3 \leq x \leq 4 \} $。接下来求 $ \complement_U A $，即 $ U $ 中不属于 $ A $ 的元素，$ A = \{ x | -2 ＜ x ＜ 3 \} $，所以 $ \complement_U A = \{ x | x \leq -2 $ 或 $ 3 \leq x \leq 4 \} $。最后求 $ (\complement_U A) \cap B $，即同时属于 $ \complement_U A $ 和 $ B $ 的元素，$ B = \{ x | -3 ＜ x ＜ 3 \} $，所以交集为 $ \{ x | -3 ＜ x \leq -2 \} $。
【答案】：
(1) $ \{ -3, -2, -1, 0, 1, 3 \} $
(2) $ \complement_U (A \cup B) = \{ x | x \leq -3 $ 或 $ 3 \leq x \leq 4 \} $，$ (\complement_U A) \cap B = \{ x | -3 ＜ x \leq -2 \} $

5. (对应题型五) 图中 U 是全集,集合 A,B,C 是 U 的子集,用 U,A,B,C 表示出图中阴影部分.

答案： 5. 解：
(1) 阴影部分表示的是属于集合 B,但不属于集合 A 的元素构成的集合,即阴影部分表示的集合为 $ (\complement_U A) \cap B $.
(2) 阴影部分表示的是属于集合 A,属于集合 B,也属于集合 C 的元素构成的集合,即阴影部分表示的集合为 $ A \cap B \cap C $.