《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{(-8)^{3}}$；(2) $\sqrt{(-10)^{2}}$；(3) $\sqrt[4]{(3-\pi)^{4}}$。
思维启迪 观察根指数与被开方数的关系,利用根式的性质逐个化简计算即可。
解：(1) $\sqrt[3]{(-8)^{3}}= -8$。
(2) $\sqrt{(-10)^{2}}= \vert -10\vert =10$。
(3) $\sqrt[4]{(3-\pi)^{4}}= \vert 3-\pi\vert =\pi - 3$。
[反思归纳] 根式的化简与求值,其实质就是化根式为不含根式的式子,当根指数为奇数时,根式的符号与被开方数相同；当根指数为偶数时,化掉根号后要加上绝对值,然后再根据绝对值的意义,脱去绝对值符号。

答案： 【解析】：本题考查根式的化简与求值，涉及立方根、平方根、四次方根。根据根式的性质，当根指数为奇数时，$\sqrt[n]{a^n}=a$；当根指数为偶数时，$\sqrt[n]{a^n}=\vert a\vert$，再根据绝对值的意义脱去绝对值符号。
(1) 根指数为3（奇数），被开方数为$(-8)^3$，直接应用性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得结果。
(2) 根指数为2（偶数），被开方数为$(-10)^2$，应用性质$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，再计算绝对值。
(3) 根指数为4（偶数），被开方数为$(3 - \pi)^4$，应用性质$\sqrt[4]{a^4}=\vert a\vert$，因为$3\lt\pi$，所以$\vert3 - \pi\vert=\pi - 3$。
【答案】：
(1) $\sqrt[3]{(-8)^{3}}=-8$
(2) $\sqrt{(-10)^{2}}=\vert -10\vert=10$
(3) $\sqrt[4]{(3 - \pi)^{4}}=\vert3 - \pi\vert=\pi - 3$