《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. 已知函数$f(x)= \sqrt{x - 1}+\frac{1}{x - 2}$,则函数$f(x)$的定义域为(D)
A.$[1,+\infty)$
B.$(2,+\infty)$
C.$(1,+\infty)$
D.$[1,2)\cup(2,+\infty)$

答案： 【解析】：要确定函数$f(x)=\sqrt{x - 1}+\frac{1}{x - 2}$的定义域，需考虑使函数各部分有意义的条件。对于二次根式$\sqrt{x - 1}$，被开方数须非负，即$x - 1\geq0$；对于分式$\frac{1}{x - 2}$，分母不能为零，即$x - 2\neq0$。解不等式$x - 1\geq0$得$x\geq1$，解$x - 2\neq0$得$x\neq2$，综合可得定义域为$[1,2)\cup(2,+\infty)$。
【答案】：D

2. 已知函数$f(x)= \begin{cases}x^2,x\leq0,\\2x + 1,x\gt0,\end{cases} 则f(2)= $(5)
A.4
B.5
C.3
D.2

答案： 【解析】：本题考查分段函数的求值。对于分段函数$f(x)$，需要根据自变量$x$的取值范围选择对应的函数表达式进行计算。题目中要求计算$f(2)$，因为$2\gt0$，所以应代入$x\gt0$时的函数表达式$2x + 1$。
【答案】：解：因为$2\gt0$，所以$f(2)=2×2 + 1=5$，故选B。

3. 已知函数$f(x)= -1 + x^3 + a是\mathbf{R}$上的奇函数,则$a=$(D)
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 【解析】：本题考查奇函数的性质。对于定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$，有$f(0)=0$。已知函数$f(x)= -1 + x^3 + a$是$\mathbf{R}$上的奇函数，所以将$x=0$代入函数可得$f(0)=-1 + 0^3 + a = a - 1$，由奇函数性质$f(0)=0$，即$a - 1 = 0$，解得$a=1$。
【答案】：D

4. 已知函数$f(x)= \frac{x^2 - 1}{x + a}$是奇函数,则$a=$(A)
A.0
B.1
C.-1
D.2

答案： 【解析】：本题考查奇函数的性质。对于奇函数$f(x)$，有$f(-x)=-f(x)$，且其定义域关于原点对称。已知函数$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x + a}$，先考虑定义域，分母不能为零，即$x\neq -a$。因为奇函数定义域关于原点对称，所以当$x=a$时，函数也应有定义或其对称点为$-a$，由此可得$-a$的相反数$a$应满足函数有意义或对称，从而推出$a=0$。再验证，当$a=0$时，$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x}$，$f(-x)=\frac{(-x)^2 - 1}{-x}=-\frac{x^2 - 1}{x}=-f(x)$，满足奇函数定义。
【答案】：A

5. (多选)下列函数在区间$(-\infty,0)$上单调递增的有(AC)
A.$y= -x^2 + 2$
B.$y= \frac{2}{x}$
C.$y= 2x + 1$
D.$y= \vert x\vert$

答案： 【解析】：本题考查函数单调性的判断。需要分别分析每个选项中的函数在区间$(-\infty,0)$上的单调性。
选项A：$y = -x^2 + 2$是二次函数，二次项系数为$-1\lt0$，开口向下，对称轴为$x = 0$。根据二次函数单调性，对称轴左侧（$x\lt0$）单调递增，右侧（$x\gt0$）单调递减。所以在$(-\infty,0)$上单调递增。
选项B：$y=\frac{2}{x}$是反比例函数，$k = 2\gt0$，其图像在第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。在区间$(-\infty,0)$（第三象限）上单调递减，不符合要求。
选项C：$y = 2x + 1$是一次函数，斜率$k = 2\gt0$，根据一次函数性质，$y$随$x$的增大而增大，在整个定义域$R$上单调递增，所以在$(-\infty,0)$上也单调递增。
选项D：$y=\vert x\vert$，当$x\in(-\infty,0)$时，$y=-x$，这是一次函数，斜率$k=-1\lt0$，$y$随$x$的增大而减小，在$(-\infty,0)$上单调递减，不符合要求。
综上，在区间$(-\infty,0)$上单调递增的函数是选项A和C。
【答案】：AC

6. (多选)若函数$f(x)= (m - 2)x^m$是幂函数,则$f(x)$一定(BD)
A.是偶函数
B.是奇函数
C.在$x\in(-\infty,0)$上单调递减
D.在$x\in(-\infty,0)$上单调递增

答案： 解：因为函数$f(x) = (m - 2)x^m$是幂函数，所以$m - 2 = 1$，解得$m = 3$，则$f(x) = x^3$。
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，B正确，A错误。
$f(x) = x^3$的导数为$f^\prime(x) = 3x^2 \geq 0$，且仅在$x = 0$处导数为$0$，所以$f(x)$在$R$上单调递增，因此在$x \in (-\infty, 0)$上单调递增，D正确，C错误。
答案：BD

7. 若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$y = f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的图象如图所示,则$y = f(x)$的单调递减区间是$(-\infty, -1]$，$[1, +\infty)$。

答案： 【解析】：本题考查奇函数的性质及函数单调性。因为$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以其图象关于原点对称。已知在区间$[0, +\infty)$上的图象，可根据对称性画出$(-\infty, 0]$上的图象。观察$[0, +\infty)$上的图象，从$x = 1$到$x = +\infty$，函数值随$x$增大而减小，即单调递减区间为$[1, +\infty)$。根据奇函数对称性，$(-\infty, -1]$上的单调性与$[1, +\infty)$一致，也是单调递减区间。
【答案】：$(-\infty, -1]$，$[1, +\infty)$

8. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本. 某企业一个月生产某种商品$x$万件时的生产成本(单位：万元)为$C(x)= \frac{1}{2}x^2 + 2x + 20$. 一万件售价为 20 万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______18万件.

答案： 解：设利润为$L(x)$万元。
已知生产成本$C(x)=\frac{1}{2}x^2 + 2x + 20$，售价为$\frac{20}{1}x = 20x$（万元，因为一万件售价20万元，$x$)万件售价为$20x$万元。
利润$L(x)=$售价 - 成本，即：
$\begin{aligned}L(x)&=20x - C(x)\\&=20x - (\frac{1}{2}x^2 + 2x + 20)\\&=20x - \frac{1}{2}x^2 - 2x - 20\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 18x - 20\end{aligned}$
对于二次函数$L(x)=-\frac{1}{2}x^2 + 18x - 20$，其中$a=-\frac{1}{2}\lt0$,函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{18}{2×(-\frac{1}{2})}=18$。
所以，当$x = 18$时，利润$L(x)$最大。
18

9. 已知函数$f(x)= \frac{x}{x^2 + 1}(x\gt0)$.
(1) 求证：$f(x)在(0,1]$上单调递增；
(2) 求函数$f(x)$的最大值和最小值.

答案：
(1)证明：任取$x_1,x_2\in(0,1]$，且$x_1＜x_2$，则
$\begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\frac{x_1}{x_1^2 + 1}-\frac{x_2}{x_2^2 + 1}\\&=\frac{x_1(x_2^2 + 1)-x_2(x_1^2 + 1)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}\\&=\frac{x_1x_2^2 + x_1 - x_2x_1^2 - x_2}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}\\&=\frac{x_1x_2(x_2 - x_1) - (x_2 - x_1)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}\\&=\frac{(x_2 - x_1)(x_1x_2 - 1)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}\end{aligned}$
因为$x_1＜x_2$，所以$x_2 - x_1＞0$，又$x_1,x_2\in(0,1]$，所以$x_1x_2\in(0,1]$，$x_1x_2 - 1＜0$，且$(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)＞0$，故$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，所以$f(x)$在$(0,1]$上单调递增。
(2)解：任取$x_1,x_2\in[1,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，同理可得
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{(x_2 - x_1)(x_1x_2 - 1)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}$
因为$x_1＜x_2$，$x_2 - x_1＞0$，$x_1,x_2\in[1,+\infty)$，所以$x_1x_2\in[1,+\infty)$，$x_1x_2 - 1＞0$，$(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)＞0$，故$f(x_1)-f(x_2)＞0$，即$f(x_1)＞f(x_2)$，所以$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递减。
由
(1)
(2)知，$f(x)$在$x=1$处取得最大值，$f(1)=\frac{1}{1 + 1}=\frac{1}{2}$。
因为$x＞0$时，$f(x)=\frac{x}{x^2 + 1}=\frac{1}{x + \frac{1}{x}}$，又$x + \frac{1}{x}\geq2$（当且仅当$x=1$时取等号），所以$0＜f(x)\leq\frac{1}{2}$，函数无最小值。
综上，函数$f(x)$的最大值为$\frac{1}{2}$，无最小值。

10. 已知二次函数$f(x)= x^2 + ax + 3$,且$f(1)= 6$.
(1) 求$f(x)$的解析式；
(2) 求证：函数$f(x)在(-1,+\infty)$上单调递增；
(3) 求函数$f(x)在[-2,2]$上的最大值和最小值.

答案： 【解析】：
(1) 本题考查二次函数解析式的求解，已知函数$f(x)=x^2 + ax + 3$及$f(1)=6$，将$x=1$代入函数式可求出$a$的值，进而得到解析式。
(2) 要证明函数在$(-1,+\infty)$上单调递增，对于二次函数，可通过其对称轴和开口方向来判断单调性，该函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{a}{2}$，求出对称轴后，若对称轴在区间$(-1,+\infty)$左侧，则函数在该区间单调递增。
(3) 求函数在$[-2,2]$上的最值，先确定对称轴位置，再比较对称轴与区间端点的距离，结合函数单调性求出最值。
【答案】：
(1) 解：因为$f(1)=6$，且$f(x)=x^2 + ax + 3$，
所以将$x=1$代入得：$1^2 + a×1 + 3 = 6$，
即$1 + a + 3 = 6$，
$a + 4 = 6$，
解得$a=2$，
所以$f(x)=x^2 + 2x + 3$。
(2) 证明：由
(1)知$f(x)=x^2 + 2x + 3$，
二次函数$f(x)$的二次项系数为$1\gt0$，所以函数图象开口向上，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
因为函数开口向上，所以在对称轴右侧函数单调递增，
即函数$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递增。
(3) 解：由
(2)知函数$f(x)$对称轴为$x=-1$，
因为函数开口向上，所以在$x=-1$处取得最小值，
$f(-1)=(-1)^2 + 2×(-1) + 3=1 - 2 + 3=2$，
比较区间端点$x=-2$和$x=2$到对称轴$x=-1$的距离，
$|-2 - (-1)|=|-1|=1$，$|2 - (-1)|=|3|=3$，
因为$3\gt1$，所以$x=2$距离对称轴更远，函数在$x=2$处取得最大值，
$f(2)=2^2 + 2×2 + 3=4 + 4 + 3=11$，
所以函数$f(x)$在$[-2,2]$上的最大值为$11$，最小值为$2$。