《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3] 若不等式$ax^{2}+bx+c＞0的解集为\{x|1＜x＜2\}$,求不等式$cx^{2}-bx+a＞0$的解集。

答案： 思维启迪 根据题意可知1和2是方程$ax^{2}+bx+c= 0$的两个根,且$a＜0$,则$b= -3a$,$c= 2a$,代入不等式$cx^{2}-bx+a＞0$的左边即可求出该不等式的解集。
解：因为不等式$ax^{2}+bx+c＞0的解集为\{x|1＜x＜2\}$,所以1,2是方程$ax^{2}+bx+c= 0$的两个根,且$a＜0$,则$\begin{cases}-\frac{b}{a}= 1+2,\frac{c}{a}= 1×2,\end{cases} 得\begin{cases}b= -3a,\\c= 2a,\end{cases} 所以不等式cx^{2}-bx+a＞0化为2ax^{2}+3ax+a＞0$,化简得$2x^{2}+3x+1＜0$,解得$-1＜x＜-\frac{1}{2}$,所以不等式$cx^{2}-bx+a＞0的解集为\{x|-1＜x＜-\frac{1}{2}\}$。
[反思归纳] 三个“二次”中,二次函数是主体,讨论一元二次方程和一元二次不等式时要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象和性质来解决问题。

[例4] 某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低$x$成,售出商品的数量就增加$\frac{8}{5}x$成,要求售价不能低于成本价。
(1) 设该商品一天的营业额为$y$,试求出$y与x$之间的函数关系式；
(2) 若要求该商品一天的营业额至少为10260元,求$x$的取值范围。

答案： 思维启迪
(1) 根据已知条件求出售价降低$x$成后的商品售价和售出商品数量,即可求该商品一天的营业额,再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得$y与x$之间的函数关系式；
(2) 由
(1)可得该商品一天的营业额和变量$x$的取值范围,再结合已知条件列出不等式求解即可得解。
解：
(1) 依题意售价降低$x成后商品售价为100(1-\frac{x}{10})= 10(10-x)$元/件,售出商品数量为$100(1+\frac{8}{50}x)= 4(25+4x)$件,所以该商品一天的营业额为$y= 10(10-x)\cdot4(25+4x)= 40(10-x)(25+4x)$。又售价不能低于成本价,所以$10(10-x)-80\geqslant0$,解得$x\leqslant2$,所以$y= 40(10-x)(25+4x)(0\leqslant x\leqslant2)$。
(2) 由
(1)知该商品一天的营业额为$y= 40(10-x)(25+4x)(0\leqslant x\leqslant2)$。
令$40(10-x)(25+4x)\geqslant10260$,化简得$8x^{2}-30x+13\leqslant0$,解得$\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{13}{4}$。又$0\leqslant x\leqslant2$,所以$x的取值范围为\{x|\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant2\}$。
[反思归纳] 利用一元二次不等式求解实际问题的步骤
(1) 理解题意,搞清量与量之间的关系；
(2) 建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3) 解这个一元二次不等式,得到实际问题的解。