《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例1] 解下列不等式：
(1)$2x^{2}-3x-2＞0$；
(2)$4x^{2}-4x+1\leqslant0$；
(3)$-x^{2}+2x-3＞0$。
思维启迪 判断与不等式对应的一元二次方程的根,作出与不等式对应的一元二次函数的图象,观察图象写出不等式的解集。
解：(1) 方程$2x^{2}-3x-2= 0的两个实数根为x_{1}= -\frac{1}{2}$,$x_{2}= 2$,作出函数$y= 2x^{2}-3x-2$的简图,如图所示。

由图可知,不等式$2x^{2}-3x-2＞0的解集为\{x|x＜-\frac{1}{2}或x＞2\}$。
(2) 因为方程$4x^{2}-4x+1= 0有两个相等的实根x_{1}= x_{2}= \frac{1}{2}$,作出函数$y= 4x^{2}-4x+1$的简图,如图所示。

由图可知,原不等式的解集是$\{\frac{1}{2}\}$。
(3) 由方程$-x^{2}+2x-3= 0$,得$\Delta＜0$,此时方程无实数解,作出函数$y= -x^{2}+2x-3$的简图,如图所示。

由图可知,原不等式的解集为$\varnothing$。
[反思归纳] 解一元二次不等式的步骤
(1) 化为标准形式(二次项系数为正,右边为0)；
(2) 计算$\Delta=b^{2}-4ac$,以确定一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$是否有解；
(3) 有根求根；
(4) 作简图,根据图象写出不等式的解集。

答案： 【解析】：本题考查一元二次不等式的解法，主要知识点包括通过判别式判断一元二次方程根的情况，结合二次函数图象确定不等式的解集。对于每个不等式，先将其化为标准形式（二次项系数为正，右边为0），计算判别式判断方程是否有根，有根则求出根，再根据二次函数图象开口方向和与x轴交点情况写出解集。
(1) 对于不等式$2x^{2}-3x-2＞0$，二次项系数为2（正），对应的方程$2x^{2}-3x-2=0$，判别式$\Delta =(-3)^{2}-4×2×(-2)=9 + 16=25＞0$，方程有两个不相等的实数根。
由求根公式可得$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×2}=\frac{3\pm5}{4}$，即$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=2$。
二次函数$y=2x^{2}-3x-2$开口向上，图象在x轴上方的部分对应的x取值范围为$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞2$，所以不等式解集为$\{x|x＜-\frac{1}{2}或x＞2\}$。
(2) 不等式$4x^{2}-4x + 1\leqslant0$，二次项系数为4（正），方程$4x^{2}-4x + 1=0$，判别式$\Delta=(-4)^{2}-4×4×1=16 - 16=0$，方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
二次函数$y=4x^{2}-4x + 1$开口向上，图象与x轴只有一个交点$(\frac{1}{2},0)$，所以不等式解集为$\{\frac{1}{2}\}$。
(3) 不等式$-x^{2}+2x - 3＞0$，先化为标准形式$x^{2}-2x + 3＜0$（两边同乘-1，不等号方向改变），二次项系数为1（正），方程$x^{2}-2x + 3=0$，判别式$\Delta=(-2)^{2}-4×1×3=4 - 12=-8＜0$，方程无实数根。
二次函数$y=x^{2}-2x + 3$开口向上，图象恒在x轴上方，所以$x^{2}-2x + 3＜0$无解，即原不等式解集为$\varnothing$。
【答案】：
(1)$\{x|x＜-\frac{1}{2}或x＞2\}$
(2)$\{\frac{1}{2}\}$
(3)$\varnothing$

题型二 一元二次不等式在$R$上恒成立问题
[例2] 若关于$x的不等式2kx^{2}+kx+\frac{1}{8}＞0对于一切实数x$都成立,求实数$k$的取值范围。
思维启迪 分类讨论,当$k= 0$时,满足题意；当$k≠0$时,列出不等式组求解即可。
解：当$k= 0$时,不等式化为$\frac{1}{8}＞0$,符合题意；
当$k≠0$时,因为关于$x的不等式2kx^{2}+kx+\frac{1}{8}＞0对于一切实数x$都成立,所以抛物线$y= 2kx^{2}+kx+\frac{1}{8}在x$轴上方,所以抛物线开口向上,且与$x$轴没有交点,所以$\begin{cases}k＞0,\\\Delta=k^{2}-4×2k×\frac{1}{8}＜0,\end{cases} 解得0＜k＜1$。
综上,实数$k的取值范围是\{k|0\leqslant k＜1\}$。
[反思归纳] 若二次项系数含有参数,而未指明该不等式是一元二次不等式时,必须对二次项系数是否为零分类讨论；一元二次不等式在$\mathbf{R}$上恒成立问题要关注开口方向和判别式两个要素。

答案： 解：当$k = 0$时，不等式化为$\frac{1}{8} ＞ 0$，符合题意；
当$k \neq 0$时，因为不等式$2kx^2 + kx + \frac{1}{8} ＞ 0$对一切实数$x$都成立，所以二次函数$y = 2kx^2 + kx + \frac{1}{8}$的图像开口向上且与$x$轴无交点，即$\begin{cases} k ＞ 0 \\ \Delta = k^2 - 4 × 2k × \frac{1}{8} ＜ 0 \end{cases}$，
由$\Delta ＜ 0$得$k^2 - k ＜ 0$，即$k(k - 1) ＜ 0$，解得$0 ＜ k ＜ 1$；
综上，实数$k$的取值范围是$0 \leq k ＜ 1$。