《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

3. (对应题型三)设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定. 生产成本 $ C $ (单位:万元)与产量 $ x $ (单位:百件)的函数关系是 $ C(x) = 10000 + 20x $;销售收入 $ S $ (单位:万元)与产量 $ x $ 的函数关系式为
$ S(x) = \begin{cases} \frac{1}{50}x^{2} + 220x, 0 ＜ x ＜ 120, \\ 25488 + 10x, x \geq 120. \end{cases} $
(1)求该商品的利润 $ W(x) $ 关于产量 $ x $ 的函数解析式;(利润 $ = $ 销售收入 $ - $ 生产成本)
(2)为使得该商品的利润最大化,应如何安排产量?

答案： 【解析】：本题考查函数的应用，涉及分段函数的构建以及二次函数和一次函数的最值问题。
（1）利润等于销售收入减去生产成本，根据销售收入的分段函数，分情况构建利润函数。
（2）对于分段的利润函数，分别在不同区间内求最值，二次函数在对称轴处取得最值，一次函数根据单调性判断最值，最后比较各区间最值得到最终结果。
【答案】：
(1)
当$0 ＜ x ＜ 120$时，
$W(x)=S(x)-C(x)=\frac{1}{50}x^{2}+220x-(10000 + 20x)$
$=\frac{1}{50}x^{2}+200x - 10000$
当$x\geq120$时，
$W(x)=S(x)-C(x)=25488 + 10x-(10000 + 20x)$
$=15488 - 10x$
所以$W(x)=\begin{cases}\frac{1}{50}x^{2}+200x - 10000,0 ＜ x ＜ 120\\15488 - 10x,x\geq120\end{cases}$
(2)
当$0 ＜ x ＜ 120$时，$W(x)=\frac{1}{50}x^{2}+200x - 10000$，二次函数对称轴为$x=-\frac{200}{2×\frac{1}{50}}=-5000$，因为$0 ＜ x ＜ 120$，对称轴在该区间左侧，函数在$0 ＜ x ＜ 120$上单调递增，所以当$x = 120$时（接近该区间右端点），$W(120)=\frac{1}{50}×120^{2}+200×120 - 10000$
$=\frac{1}{50}×14400 + 24000 - 10000$
$=288 + 14000=14288$
当$x\geq120$时，$W(x)=15488 - 10x$，因为$-10 ＜ 0$，函数单调递减，所以当$x = 120$时，$W(120)=15488 - 10×120=15488 - 1200=14288$
比较可知，在$x = 120$时利润最大。
应安排产量为120百件。

4. (对应题型四)在固定压力差(压力差为常数)的前提下,当气体通过圆形管道时,其速率 $ v $ (单位: $ \text{cm}^{3}/\text{s} $)与管道半径 $ r $ (单位:cm)的四次方成正比. 若在半径为3cm的管道中,某气体的速率为 $ 400 \text{cm}^{3}/\text{s} $, 求该气体通过半径为5cm的管道时的速率.(结果精确到 $ 1 \text{cm}^{3}/\text{s} $)

答案： 【解析】：本题考查了正比例函数的应用。根据题意，速率$v$与管道半径$r$的四次方成正比，可设$v = kr^4$（$k$为常数）。先将半径$r = 3$cm，速率$v = 400$cm³/s代入，求出比例常数$k$，再将$r = 5$cm代入求出此时的速率。
【答案】：解：设$v = kr^4$（$k$为常数）。
当$r = 3$，$v = 400$时，
$400 = k×3^4$，
$400 = 81k$，
解得$k = \frac{400}{81}$。
当$r = 5$时，
$v = \frac{400}{81}×5^4$
$= \frac{400}{81}×625$
$≈\frac{250000}{81}$
$≈3086$（cm³/s）。
答：该气体通过半径为5cm的管道时的速率约为$3086$cm³/s。