《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

1. (对应题型一) 写出集合 $ \{ a, b, c \} $ 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。

答案： 1. 集合 {a,b,c} 的所有子集为 ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}。真子集为 ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}。

2. (对应题型二) 判断下列各题中集合间的关系,并说明理由。
(1) $ M = \{ x | x = 3k, k \in \mathbf{Z} \} $,$ N = \{ x | x = 6k, k \in \mathbf{Z} \} $；
(2) $ A = \{ x | 0 ＜ x ＜ 2 \} $,$ B = \{ x | - 1 ＜ x \leq 3 \} $；
(3) $ M = \{ x | x = 2n - 1, n \in \mathbf{Z} \} $,$ N = \{ x | x = 2n + 1, n \in \mathbf{Z} \} $。

答案：
2.
(1) M 表示被 3 整除的整数集,N 表示被 6 整除的整数集,因为 6 的倍数一定是 3 的倍数,而 3 的倍数不一定是 6 的倍数,所以 N⫋M。
(2) 在数轴上表示出集合 A 与 B,如图所示。

由图可知 A⫋B。
(3) 因为集合 M,N 都表示奇数集,所以 M=N。

3. (对应题型三) 已知集合 $ A = \{ x | x ＜ 1 \} $,$ B = \{ x | x ＜ a \} $。
(1) 若 $ A = B $,求实数 $ a $ 的值；
(2) 若 $ A \subseteq B $,求实数 $ a $ 的取值范围；
(3) 若 $ B \subsetneqq A $,求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 【解析】：本题考查集合间的基本关系，包括集合相等、子集和真子集的概念。
(1) 集合相等意味着两个集合中的元素完全相同，对于用不等式表示的集合，需满足边界值相等。
(2) 子集关系$A \subseteq B$表示集合$A$中的所有元素都属于集合$B$，在数轴上体现为集合$A$在集合$B$的左侧或重合。
(3) 真子集关系$B \subsetneqq A$表示集合$B$是集合$A$的子集且$B$不等于$A$，在数轴上体现为集合$B$在集合$A$的左侧且边界值不相等。
【答案】：
(1) 因为$A = B$，$A = \{ x | x ＜ 1 \}$，$B = \{ x | x ＜ a \}$，所以$a = 1$。
(2) 因为$A \subseteq B$，所以集合$A$中的所有元素都在集合$B$中，即$a \geq 1$。
(3) 因为$B \subsetneqq A$，所以集合$B$是集合$A$的真子集，即$a ＜ 1$。