《2025年美迪初中衔接暑假河北教育出版社数学人教版》

[例3] 已知$\odot的半径为r$,圆心$O到直线l的距离为d$。求证：$d = r是直线l与\odot O$相切的充要条件。
思维启迪 设$p$：$d = r$,$q$：直线$l与\odot O$相切。要证$p是q$的充要条件,只需分别证明充分性$(p\Rightarrow q)和必要性(q\Rightarrow p)$即可。
证明：设$p$：$d = r$,$q$：直线$l与\odot O$相切。
(1)充分性$(p\Rightarrow q)$：如图,过圆心$O作OP\perp l于点P$,则$OP = d$。若$d = r$,则点$P在\odot O$上。在直线$l上任取一点Q$(异于点$P$),连接$OQ$。在$\text{Rt}\triangle OPQ$中,$OQ\gt OP = r$,所以除点$P外直线l上的点都在\odot O$的外部,即直线$l与\odot O仅有一个公共点P$,所以直线$l与\odot O$相切。
(2)必要性$(q\Rightarrow p)$：若直线$l与\odot O$相切,不妨设切点为$P$,则$OP\perp l$。因此,$d = OP = r$。
由(1)(2)可得,$d = r是直线l与\odot O$相切的充要条件。
[反思归纳] 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件”$\Rightarrow$“结论”,必要性需要证明“结论”$\Rightarrow$“条件”。

答案： 【解析】：本题考查直线与圆相切的充要条件证明。要证$d = r$是直线$l$与$\odot O$相切的充要条件，需分别证明充分性（$d = r\Rightarrow$直线$l$与$\odot O$相切）和必要性（直线$l$与$\odot O$相切$\Rightarrow d = r$）。充分性通过过圆心作直线垂线，利用垂线段最短证明直线与圆仅有一个公共点；必要性利用切线性质，切点到圆心距离等于半径证明。
【答案】：证明：设$p$：$d = r$，$q$：直线$l$与$\odot O$相切。
(1)充分性（$p\Rightarrow q$）：
过圆心$O$作$OP\perp l$于点$P$，则$OP = d$。
若$d = r$，则点$P$在$\odot O$上。
在直线$l$上任取一点$Q$（异于点$P$），连接$OQ$。
在$\text{Rt}\triangle OPQ$中，$OQ\gt OP = r$，
所以除点$P$外直线$l$上的点都在$\odot O$的外部，
即直线$l$与$\odot O$仅有一个公共点$P$，
所以直线$l$与$\odot O$相切。
(2)必要性（$q\Rightarrow p$）：
若直线$l$与$\odot O$相切，不妨设切点为$P$，则$OP\perp l$。
因此，$d = OP = r$。
由
(1)
(2)可得，$d = r$是直线$l$与$\odot O$相切的充要条件。

1. (对应题型一)判断下列语句是否为命题？若是,请判断其真假,并说明理由。
(1)求证$\sqrt{3}$是无理数；
(2)若$x\in\mathbf{R}$,则$x^{2}+4x + 4\geq0$；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若$xy$是有理数,则$x$,$y$都是有理数；
(6)$60x + 9\gt4$。

答案： 1. 解：
(1)是祈使句,不是命题。
(2)因为$x\in\mathbf{R}$,$x^{2}+4x + 4= (x + 2)^{2}\geq0$,所以可以判断其真假,是命题,而且是真命题。
(3)是疑问句,不是命题。
(4)是命题,而且是真命题,有的人喜欢吃苹果,有的人不喜欢吃苹果。
(5)是命题,而且是假命题,如$\sqrt{7}×(-\sqrt{7})= -7$是有理数,但$\sqrt{7}和-\sqrt{7}$都是无理数。
(6)不是命题,这种含有未知数的语句,无法确定未知数的取值能否使得不等式成立。

2. (对应题型二)下列各组中,$p是q$的什么条件？
(1)$p$：$x = 1$,$q$：$x - 1= \sqrt{x - 1}$；
(2)$p$：$-1\leq x\leq5$,$q$：$x\geq - 1且x\leq5$；
(3)$p$：$x + 2\neq y$,$q$：$(x + 2)^{2}\neq y^{2}$；
(4)$p$：$a$是自然数；$q$：$a$是正数。

答案： 2. 解：
(1)当$x = 1$时,$x - 1= \sqrt{x - 1}$成立；当$x - 1= \sqrt{x - 1}$时,$x = 1或x = 2$,所以$p是q$的充分不必要条件。
(2)由$-1\leq x\leq5$,即为$x\geq - 1且x\leq5$,所以$p是q$的充要条件。
(3)由$(x + 2)^{2}\neq y^{2}$,得$x + 2\neq y$,且$x + 2\neq - y$,则$x + 2\neq y$,不一定有$(x + 2)^{2}\neq y^{2}$,所以$p是q$的必要不充分条件。
(4)0是自然数,但0不是正数,所以$p\nRightarrow q$；又$\frac{1}{2}$是正数,但$\frac{1}{2}$不是自然数,所以$q\nRightarrow p$,所以$p是q$的既不充分也不必要条件。