《2025年高分突破课时达标讲练测七年级数学上册北师大版》

例 4 书店卖课本和笔记本,课本每本定价 20 元,笔记本每本定价 2 元。书店开展促销活动,向客户提供两种优惠方案：①买一本课本送一本笔记本；②课本和笔记本都按定价的 95%付款。现某班要到该书店购买课本 50 本,笔记本 x 本$(x＞50)$。
(1)若该班按方案①购买,需付(2x + 900)元；若该班按方案②购买,需付(950 + 1.9x)元；
(2)若$x= 300$,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算。
按方案①购买较为合算。

答案： 1. （1）
按方案①购买：
课本每本定价$20$元，买$50$本课本花费$20×50$元；因为买一本课本送一本笔记本，所以送$50$本笔记本，还需买$(x - 50)$本笔记本，笔记本每本定价$2$元，所以需付$20×50+2(x - 50)$
化简$20×50+2(x - 50)=1000 + 2x-100=2x + 900$元。
按方案②购买：
课本$50$本，每本$20$元，笔记本$x$本，每本$2$元，总价为$(20×50 + 2x)$元，都按定价的$95\%$付款，则需付$(20×50 + 2x)×95\%$
化简$(20×50 + 2x)×95\%=(1000 + 2x)×\frac{95}{100}=1000×\frac{95}{100}+2x×\frac{95}{100}=950+1.9x$元。
2. （2）
当$x = 300$时：
方案①：
把$x = 300$代入$2x + 900$，得$2×300+900$
$2×300+900=600 + 900=1500$元。
方案②：
把$x = 300$代入$950+1.9x$，得$950+1.9×300$
$950+1.9×300=950 + 570=1520$元。
因为$1500\lt1520$。
所以（1）$(2x + 900)$；$(950 + 1.9x)$；（2）按方案①购买较为合算。

7. 人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关,若用 m 表示一个人的年龄,则这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数为$0.8(220-m)$。
(1)正常情况下,一个 16 岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(2)一个 50 岁的人运动时,30 秒心跳的次数为 70 次,他有危险吗？

答案： 1. （1）
解：已知公式$n = 0.8(220 - m)$（$n$表示每分钟心跳最高次数，$m$表示年龄），当$m = 16$时。
把$m = 16$代入公式$n=0.8(220 - m)$中，得到$n = 0.8×(220−16)$。
先算括号里的$220−16 = 204$，再算乘法$n = 0.8×204$。
$0.8×204=(1 - 0.2)×204=204-0.2×204=204 - 40.8 = 163.2$（次）。
2. （2）
解：当$m = 50$时，根据公式$n = 0.8(220 - m)$。
先算$220−50 = 170$，再算$n = 0.8×170=136$（次），这是$50$岁的人运动时每分钟所能承受的心跳最高次数。
已知$30$秒心跳$70$次，那么每分钟心跳次数$n_{1}=70×2 = 140$次。
因为$140＞136$。
所以（1）$16$岁少年运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是$163.2$次；（2）他有危险。

1. 单项式的有关概念
(1)数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
(2)单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
(3)所有字母的指数和叫作这个单项式的次数,单独一个非零数的次数是0。
注意：①单项式中,分母不含字母,但可以是数字,例如$\frac{3}{2}a^{2}b$是单项式,而$\frac{2}{a}$不是单项式；
②单项式中,只含有乘法或乘方运算,例如$\frac{3x + 5y}{2}$不是单项式；
③$\pi$是数而非字母,例如$-\frac{2}{3}\pi ab^{3}的系数为-\frac{2}{3}\pi$,次数为4；单项式的系数包含它前面的符号；
④单独的一个字母的系数为1或-1,次数为1,例如$a$的系数为1,次数为1；单独的一个非零数的系数为它本身,次数为0,例如-2的系数为-2,次数为0。

答案： 【解析】：
这道题目主要考查了单项式的基本概念，包括单项式的定义、系数和次数的识别。
(1) 根据单项式的定义，它是数与字母的乘积组成的代数式，所以第一个空应填“字母”。
(2) 单项式中的数字因数被称为这个单项式的系数，所以第二个空应填“数字因数”。
(3) 一个单项式中，所有字母的指数之和被称为这个单项式的次数。而单独一个非零数的次数是0，所以第三个和第四个空分别填“所有字母”和“0”。
【答案】：
(1) 字母
(2) 数字因数
(3) 所有字母；0

2. 多项式的有关概念
(1)几个单项式的和叫作多项式。在多项式中,每个单项式叫作多项式的项,其中不含字母的项叫作常数项。
(2)一个多项式中,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数。
(3)多项式的降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来,叫作按这个字母的降幂排列。
注意：①多项式的每一项都包含它前面的符号；
②多项式的次数不是所有项的次数和；
③多项式计算的最后结果一般按照降幂排列。
例：把多项式$x^{4}-y^{4}+3x^{3}y - 2xy^{2}-5x^{2}y^{3}$用适当的方式排列。
(1)按字母$x$的降幂排列：$x^{4} + 3x^{3}y - 5x^{2}y^{3} - 2xy^{2} - y^{4}$；
(2)按字母$y$的降幂排列：$- y^{4} - 5x^{2}y^{3} - 2xy^{2} + 3x^{3}y + x^{4}$。

答案： 【解析】：
本题主要考查多项式的相关概念，包括多项式的定义，多项式的项，多项式的次数以及多项式的降幂排列。
(1) 根据多项式的定义，几个单项式的和叫作多项式。在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。
(2) 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
(3) 对于多项式的降幂排列，需要按照某个字母的指数从大到小进行排列。同时，需要注意多项式的每一项都包含它前面的符号，多项式的次数不是所有项的次数和，多项式计算的最后结果一般按照降幂排列。
例：对于多项式$x^{4}-y^{4}+3x^{3}y - 2xy^{2}-5x^{2}y^{3}$，
(1) 按字母$x$的降幂排列，我们得到：$x^{4} + 3x^{3}y - 5x^{2}y^{3} - 2xy^{2} - y^{4}$；
(2) 按字母$y$的降幂排列，我们得到：$- y^{4} - 5x^{2}y^{3} - 2xy^{2} + 3x^{3}y + x^{4}$。
【答案】：
(1) 单项式；项
(2) 次数最高的项
(3) 例：
(1) 按字母$x$的降幂排列：$x^{4} + 3x^{3}y - 5x^{2}y^{3} - 2xy^{2} - y^{4}$；
(2) 按字母$y$的降幂排列：$- y^{4} - 5x^{2}y^{3} - 2xy^{2} + 3x^{3}y + x^{4}$。

3. 整式
单项式和多项式统称整式。

答案： 【解析】：
本题考查整式的基本定义。整式是代数式的一种，它是由常数、变量、加法、减法、乘法和自然数次幂运算构成的代数式。整式可以分为单项式和多项式两类。单项式是只含有一个项的整式，而多项式则是由有限个单项式相加或相减构成的整式。
【答案】：
单项式；多项式