《2025年高分突破课时达标讲练测七年级数学上册北师大版》

例2 (1) 如图1,已知$AB与CD相交于点O$,且$∠DOE = ∠AOC$,$OF平分∠AOE$,若$∠AOC = 28^{\circ}$,求$∠EOF$的度数；


(2) 如图2,$∠AOB : ∠BOC : ∠COD = 4 : 5 : 3$,$OM平分∠AOD$,$∠BOM = 20^{\circ}$,求$∠AOD和∠MOC$的度数。

答案： $(1)$求$\angle EOF$的度数
解：
- 因为$AB$与$CD$相交于点$O$，所以$\angle AOC$与$\angle BOD$是对顶角，根据对顶角相等，可得$\angle BOD=\angle AOC = 28^{\circ}$。
- 又因为$\angle DOE=\angle AOC = 28^{\circ}$，且$\angle AOE+\angle DOE+\angle BOD = 180^{\circ}$（平角为$180^{\circ}$），所以$\angle AOE=180^{\circ}-\angle DOE - \angle BOD=180^{\circ}-28^{\circ}-28^{\circ}=124^{\circ}$。
- 由于$OF$平分$\angle AOE$，根据角平分线定义，$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle AOE$，即$\angle EOF=\frac{1}{2}×124^{\circ}=62^{\circ}$。
$(2)$求$\angle AOD$和$\angle MOC$的度数
解：
- 设$\angle AOB = 4x$，$\angle BOC = 5x$，$\angle COD = 3x$，则$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=4x + 5x+3x = 12x$。
- 因为$OM$平分$\angle AOD$，所以$\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOD = 6x$。
- 又因为$\angle AOM=\angle AOB+\angle BOM$，已知$\angle BOM = 20^{\circ}$，所以$6x=4x + 20^{\circ}$。
移项可得：$6x-4x=20^{\circ}$，即$2x = 20^{\circ}$，解得$x = 10^{\circ}$。
- 那么$\angle AOD=12x=12×10^{\circ}=120^{\circ}$。
- $\angle MOC=\angle BOC-\angle BOM$，$\angle BOC = 5x = 5×10^{\circ}=50^{\circ}$，所以$\angle MOC=50^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\angle EOF = 62^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{\angle AOD = 120^{\circ}}$，$\boldsymbol{\angle MOC = 30^{\circ}}$。

3. 如图,点$O为直线AB$上一点,$OE平分∠AOD$,$∠EOC = ∠BOD$,$∠DOC = 60^{\circ}$,则$∠AOE$的度数为(D)
A.$34^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$38^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 3.D； 

4. 已知$∠AOB = 60^{\circ}$,$OC平分∠AOB$,以$OC为一边作∠COP = 15^{\circ}$,则$∠BOP$的度数为______。

答案： 4.15°或45°

5. (2025·重庆巴南区)如图,已知$∠AOC = 120^{\circ}$,$OE是∠BOC$的平分线,且$∠DOE = 80^{\circ}$。
(1) 求$∠COE和∠COD$的度数；
(2) 在$∠AOD内作射线OF$,使得$∠DOF : ∠AOF = 3 : 4$,求$∠EOF$的度数。

答案： 5.
(1)∠COE=30°, ∠COD=50°；
(2)∠EOF=110°